Предельные точки и точки прикосновения

[asker]

Привет, помогите разобраться в чём разница между предельными точками и точками прикосновения.
Точки прикосновения: $X \subset \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}: \forall U(x)\cup X \neq 0$
Предельные точки: $X \subset \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}: \forall \mathring U(x)\cup X \neq 0$
Дайте пожалуйста примеры множеств, для которых множество предельных точек не совпадало бы с множеством точек прикосновения (для отрезков и интервалов, как я понимаю, это не выполняется).

[gris]

Разница в проколотости окрестности. Любая предельная точка будет точкой прикосновения, но не наоборот.
Напишите условие для того, чтобы точка прикосновения не была предельной, и пример получится сам собой.

[ShMaxG]

А в терминах последовательностей для предельной точки существует последовательность точек из множества (при этом ни одна точка последовательности не совпадает с этой предельной) которая к ней сходится, а для точки прикосновения просто существует последовательность из множества (причем среди элементов этой последовательности может быть и сама эта точка прикосновения), которая к ней сходится.

[VAL]

asker в сообщении #354505 писал(а):

Привет, помогите разобраться в чём разница между предельными точками и точками прикосновения.
Точки прикосновения: $X \subset \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}: \forall U(x)\cup X \neq 0$
Предельные точки: $X \subset \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}: \forall \mathring U(x)\cup X \neq 0$
Дайте пожалуйста примеры множеств, для которых множество предельных точек не совпадало бы с множеством точек прикосновения (для отрезков и интервалов, как я понимаю, это не выполняется).

Не совсем понял (да что там, совсем не понял) Ваши формулы.
А в чем разница - gris уже объяснил.
Иными словами, точка прикосновения множества - это точка, в любой окрестности которой есть точки множества.
А предельная точка - это точка, в любой окрестности которой есть точки множества, отличные от данной.
Например, точками прикосновения множества точек последовательности $a_n=\frac 1n, n \in \mathbb{N}$ будут все точки этой последовательности и 0, а предельной точкой - только 0. (Рассматривается $\mathbb{R}$ со стандартной топологией.)

[asker]

gris в сообщении #354514 писал(а):

Разница в проколотости окрестности. Любая предельная точка будет точкой прикосновения, но не наоборот.
Напишите условие для того, чтобы точка прикосновения не была предельной, и пример получится сам собой.

$t$ - точка прикосновения, но не предельная точка, тогда:
$\left\{ \begin{array}{l} U(t) \cap X \neq 0,\\ \mathring U(t) \cap X = 0 \end{array} \right$
У меня получается придумать только одно подходящее множество $X$ - множество состоящие из одной точки $t$. Намекните, пожалуйста, какие существуют менее тривиальные множества в данном случае?

-- Пн сен 20, 2010 23:25:29 --

VAL в сообщении #354546 писал(а):

Не совсем понял (да что там, совсем не понял) Ваши формулы.

Там опечатка, не объединение, а пересечение должно быть.

VAL в сообщении #354546 писал(а):

Например, точками прикосновения множества точек последовательности $a_n=\frac 1n, n \in \mathbb{N}$ будут все точки этой последовательности и 0, а предельной точкой - только 0. (Рассматривается $\mathbb{R}$ со стандартной топологией.)

Спасибо огромное, разобрался.

[gris]

Такая точка множества называется изолированной.
Замыкание множества состоит всех точек прикосновения: из предельных точек, принадлежащих множеству, предельных не принадлежащих и изолированных.
То есть разность между множеством предельных точек и точек прикосновения есть изолированные точки множества. И больше ничего.
Для примера найдите интересное множество из изолированных точек на отрезке. Например, счётное или несчётное.