Cтатистическая Физика. Флуктуации

[Orange]

Доброго времени суток!

У меня возникла проблема при решении следующей задачи, подскожите пожалуйста, у кого есть соображения на этот счёт.

Рассмотрим систему, состоящую из двух изомеров А и В, так что переходам из одного измерного состояния в другое подвержено малое число частиц.
Число частиц А и В флуктуирует, однако общее число частиц $N=N_{A}+N_{B}$ сохраняется.
Требуется показать, что средние флуктуации (дисперсия) даются формулой
$<(N_{A}-<N_{A}>)^{2}>=x_{A}x_{B}N,$ (1)
где
$x_{A}=<N_{A}>/N, x_{B}=<N_{B}>/N $ (2)

Там же даётся подсказка - воспользоваться функцией-индекатором $n_{a i}=1$если частица i находится в состоянии А и $n_{a i}=0$ в противном случае, так что $N_{A}=\sum_{i}n_{a i}$.

Мне не совсем ясно как нужно действовать. Я пытался записать средние $<N_{A}>, <N_{A}^{2}>$ с учётом подсказки и подставить это дело в (1), но ничего хорошего из этого не вышло.
Или же нужно вводить двa лагранжевых множителя $\mu_{A}, \mu_{B}$ и получать средние по формуле
$<N_{A}>=\frac{\partial\ln\Xi}{\partial\beta\mu_{A}}$
где $\Xi$ - стат. сумма. Однако, ничего хорошего я в итоге не получил (при этом, к тому же, неясно как пользоваться подсказкой).

Благодарю за помощь.

[мат-ламер]

Я в этом абсолютно не разбираюсь, по скольку не физик. Но по-моему, эта задача вообще не по физике, а из теории случайных блужданий. Такие задачи подробно рассматриваются в двухтомнике Феллера по теории вероятностей (в первом томе).

[Orange]

Согласен, задачу, скорее, нужно отнести к разделу теории вероятности в общем, однако она у меня возникла в связи с физическим курсом, поэтому я естественным образом поместил её в этом форуме. Тем не менее вопросы флуктуаций в статистических системах довольно актуальны в физике.

Благодарю за ссылку, обязательно почитаю Феллера.

[мат-ламер]

Насчёт случайных блужданий я наверное поторопился. При повторном прочтении постановки мне кажется, что величины $N_A$ и $N_B$ распределены по распределению Бернулли. Надо найти дисперсию этого распределения.

[мат-ламер]

Кстати, дисперсия распределения Бернулли $np(1-p)$. Если перейти к Вашим обозначениям, то получится то, что нужно.

[Orange]

Цитата:

При повторном прочтении постановки мне кажется, что величины $N_{A}$ и $N_{B}$ распределены по распределению Бернулли.

и почему же вам так кажется? Лично мне так не кажется, по крайней мере мне не известно, что квантовые флуктуации описываются распределением Бернулли.

Цитата:

Кстати, дисперсия распределения Бернулли $np(1-p)$

похоже, cкорее, на дисперсию биномиального распределения.

[мат-ламер]

$Orange$. Во-первых, см. первую фразу моего первого поста. Насчёт квантовых флуктуаций я ничего не понимаю. Во-вторых, мне кажется, что поведение каждой частицы независимо от поведения других частиц, и оно также не зависит от поведения этой же частицы в предыдущее время. Т.о. состояние всех частиц в конкретный момент времени - это выборка из $N$ независимых испытаний, у каждого из которых два исхода. Можете называть это распределение биномиальным. А в третьих, если Вы сомневаетесь, пусть кто-нибудь ещё присоединится к дискуссии. А то я, не зная специфики вопроса, могу Вас направить на ложный путь.

[Orange]

Как оказалось, задача решается очень просто. Если подставить $N_{A}=\sum_{i}n_{ai}$ в левую часть ур. (1) и учесть, что $<n_{ai}n_{aj}>=<n_{ai}><n_{aj}>$ при $i\neq j$, то автоматически получается правая часть ур. (1).
Так или иначе, большое спасибо за помощь!

[мат-ламер]

Orange. А что обозначают угловые скобки? В некоторых книгах по квантовой механике угловые скобки обозначают скалярное произведение. А что в стат. физике?

-- Пт сен 24, 2010 20:37:25 --

Может математ. ожидание? (как-бы подходит).

-- Пт сен 24, 2010 20:40:35 --

Действительно, матем. ожидание. Можете не отвечать. Извиняюсь за глупый вопрос.

[Orange]

Это статистические средние - мат. ожидание для надлюдаемой величины.