Отсутствие тока в металлической коробке

[Foreman]

Товарищи, что-то я туплю по черному. Ситуация такая: есть металлическая коробка. Внутрь нее помещаем два разноименных равных по модулю точечных заряда. По теореме Гаусса на поверхности коробки зарядов наводиться не должно, к тому же в металле коробки вроде как отсутствует ток. Тока нет, значит суммарная напряженнность равна нулю. Теперь смотрим, у нас два точечных заряда создают поле в каждой точке контура коробки, наведенных зарядов нет, как же тогда получается, что суммарная Е равна нулю?

[ewert]

Foreman в сообщении #354248 писал(а):

на поверхности коробки зарядов наводиться не должно

Там две поверхности: унешняя и унутренняя. Вот на унутренней они и наводятся, а на унешней -- нет.

[Foreman]

Ewert, позвольте не согласиться с вами. Если на внутренней поверхности наводится заряд, то естественным образом на внешней поверхности должен появляться заряд противоположного знака (ведь коробка в целом нейтральна). Но на внутренней поверхности не может быть заряда, это следует из теоремы Гаусса: заряды одинаковые по модулю и противоположного знака, они дают нулевой поток напряженности через замкнутую поверхность, проведенную внутри металла коробки, если бы на внутренней поверхности был заряд, то поток был бы отличен от нуля, а он должен быть равен нулю (из предположения, что в металле коробки тока нет). Вроде бы правильно рассуждаю...

[ewert]

Foreman в сообщении #354261 писал(а):

Если на внутренней поверхности наводится заряд, то естественным образом на внешней поверхности должен появляться заряд противоположного знака (ведь коробка в целом нейтральна). Но на внутренней поверхности не может быть заряда

Вовсе нет. Суммарный заряд на внутренней поверхности равен нулю, да. Но это вовсе не означает, что заряды на ней вообще не индуцируются. А вот что они обязаны индуцироваться на внутренней поверхности -- очевидно: в противном случае не могло бы получиться так, что в толще стенки поле отсутствует. Ведь внутри-то коробки оно заведомо ненулевое, и скачок напряжённости на внутренней поверхности может быть обусловлен только соотвествующим поверхностным зарядом.

[BISHA]

Foreman в сообщении #354248 писал(а):

Ситуация такая: есть металлическая коробка. Внутрь нее помещаем два разноименных равных по модулю точечных заряда.

Используем принцип суперпозиции. Рассматриваем заряды по одному. Первый заряд (+) индуцирует на внутренней поверхности коробки противоположный по знаку заряд (-). Второй заряд (-) индуцирует - (+). Если заряды равны по величине, а коробка проводящая, то на внешней поверхности коробки нет заряда, т. е. и эл. поля. Но поле есть внутри коробки.

[Foreman]

О, ну я тупик жесткий, все сходится, чето до меня раньше не дошло, что на внутренней поверхности могут проиндуцироваться равные заряды разных знаков. Премного благодарен, господа!

[Foreman]

А вот вопрос вдогонку, если вы не возражаете. Посидел, подумал вот о чем: на внутренней поверхности обязательно должны наводиться заряды, а почему бы им не навестись на внешней? Таким же образом, чтобы суммарный заряд на внешней оказался нулевым, и суммарное нулевое поле внутри металла складывалось бы из полей зарядов внутри коробки, зарядов на внутренней и внешней поверхности. Почему так не должно случиться?

[ewert]

Foreman в сообщении #354588 писал(а):

а почему бы им не навестись на внешней?

С физической точки зрения: а что их там будет наводить?...

Вот мы распределили заряды по внутренней поверхности так, что поле внутри проводника отсутствует (а это можно). И вне коробки -- тоже отсутствует. И никаких зарядов нигде вне внутренней поверхности нет. Так с чего бы им в этой ситуации дополнительно перераспределяться?...

С математической: потому, что решение задачи единственно, а одно решение уже предъявлено.

[Foreman]

Ewert, просто дело в том, что для меня не очевидно, что существует именно такое распределение зарядов на внутренней поверхности, что сумма только этого поля и поля зарядов внутри коробки равна нулю, в таком случае действительно наводить заряды на внешней поверхности нечем. Но если бы сумма этих полей была не равна нулю, то это суммарное поле могло бы наводить на внешней поверхности заряды, которые своим полем "доводили" напряженность в металле до нуля.

[ewert]

Foreman в сообщении #354629 писал(а):

для меня не очевидно, что существует именно такое распределение зарядов на внутренней поверхности, что сумма только этого поля и поля зарядов внутри коробки равна нулю

А Вы мысленно уберите внешнюю поверхность, т.е. заполните всё пространство вне коробки проводником, оставив только внутреннюю поверхность. Существует ли решение такой задачи?...

Как минимум физически -- очевидно, что существует: зарядики внутри проводника побегают-побегают, расталкивая друг друга локтями, в попытке экранировать заряды внутри коробки -- да и заэкранируют их вконец.

А с математической -- это известный факт: задача Дирихле для уравнения Пуассона всегда имеет единственное решение.

[Foreman]

К сожалению, о задаче Дирихле и уравнении Пуассона я пока рассуждать не готов, до этого я еще не добрался (если вообще доберусь). Если я правильно понял, то в качестве эксперимента вы предлагаете все пространство вокруг полости коробки заполнить проводником, получается, вроде как, проводник без внешней поверхности (бесконечных размеров) с полостью, содержащей заряды?

[ewert]

Да. Потому, что если эта задача разрешима, то после удаления добавленного бесконечного проводника ничего не изменится.

[Foreman]

Видимо доказательство разрешимости такой задачи математическое...Вот вы утверждаете, что с физической точки зрения очевидно, что равновесие наступит. Но ведь о том, что равновесие наступает, мы знаем из опыта (в литературе именно так и пишут: мы видим, что тока нет, значит напряженность ноль и т.д.), правда такой опыт связан с проводниками конечных размеров . Этот опыт мы обобщаем на известные нам проводники. В практике проводники бесконечных размеров нам ведь не встречаются...как я могу утверждать о возможности равновесия в них?

[ewert]

Foreman в сообщении #354659 писал(а):

В практике проводники бесконечных размеров нам ведь не встречаются...как я могу утверждать о возможности равновесия в них?

А любая математическая модель вообще какой бы то ни было физической системы есть лишь некоторая идеализация. Которая оправдывается тем, что результаты стабилизируются при уходе соответствующего параметра на бесконечность (ну или наоборот в ноль). В физике это получается как вывод из наблюдений, в математике -- как результат формальных выкладок. При этом математические результаты служат подтверждением корректности физической теории, физические же, в свою очередь -- стимулом к развитию математических исследований.