порядок элемента g^k

[spyphy]

Надо показать, что если k - целое, $o(g)=n < \infty, g \in G $, то
$o(g^k)=\frac{n}{(n,k)}$.
(n,k) - это НОД, o(g) - порядок эл-та g.

Я понимаю, что это почти очевидно, но никак не могу вывести напрямую эту формулу.
У меня получается типа такого (извиняюсь за бред, но ничего друго придумать не удалось):
$n=o(g)=min(n_1 | g^{n_1} = e) = min(k m_1 | g^{k m_1} =e) = k \cdot min(m_1 | (g^k)^{m_1}} = e) = k \cdot o(g^k) = k m$,
где $m = o(g^k) = n/k$.

[BapuK]

А почему не попробовать доказать, воспользовавшись определением порядка элемента?
1.Показать, что $(g^k) ^\frac{n}{(n,k)} = e$ довольно таки легко
2.Затем показать, что если $(g^k)^s=e$, то $s$ делится на $\frac{n}{(n,k)}$

[spyphy]

Да, действительно, пункт 1 доказать легко. Со втором не очень очевидно. На сколько я понимаю, это тоже самое, что
$ \forall r \in (0,\frac{n}{(n,k)}): ~ g^{kr} \neq e $. Или можно проще? (но как)

[BapuK]

обозначим: $t=(n,k), n=n_1t, k=k_1t$
Рассмотри $(g^k)^s = e$, тогда $ks$ делится на $n$, тогда $k_1s$ делится на $n_1$ и т.к. $(k_1, n_1) = 1$ , то $s$ делится на $n_1$

[spyphy]

Ах да, точно ) На последнем действии я как раз и застрял кстати... совсем забыл про то свойство взаимно простых чисел... собственно и сейчас я его с трудом вспоминаю.. но вроде да, есть такое дело...