Разложение кольца в прямое произведение

[Joker_vD]

Есть ненулевое коммутативное кольцо с единицей $A$. Вопрос: при каких условиях существуют два ненулевых коммутативных кольца с единицей $A_1$ и $A_2$ таких, что $A \cong A_1 \times A_2$?

Интересуют даже не конкретно критерии, а способы нахождения таких $A_1, A_2$. Понятно, что, $A \cong (A/\mathfrak a_1) \times (A/\mathfrak a_2)$ тогда и только тогда, когда $\mathfrak a_1 + \mathfrak a_2 = (1)$ и $\mathfrak a_1 \cap \mathfrak a_2 = 0$. Может, есть способы нахождения таких идеалов? Или хотя бы способы определения наличия таких идеалов в кольце?

[mkot]

Помнится во втором томе Алгебры Глухова, Елизарова и Нечаева что-то было про разложения колец в прямые суммы.

[Joker_vD]

Хм, там есть, но как-то так не очень... пришлось раздобыть "Коммутативную алгебру" Зарисского и Самюэля. Там попонятнее, в частности, упоминаются идемпотенты.

Т.о., мне удалось показать, что если в коммутативном кольце с единицей есть нетривиальный идемпотент, то кольцо раскладывается в прямую сумму.

Это здорово. Однако мне бы хотелось узнать что-нибудь о кольце, у которого любой простой идеал содержит либо идеал $\mathfrak a$, либо идеал $\mathfrak b$. Есть ли в таком кольце идемпотенты?

[Joker_vD]

В таком кольце нетривиальные идемпотенты есть!

Если любой простой идеал содержит либо идеал $\mathfrak a$, либо идеал $\mathfrak b$, это значит, что $\mathrm{Spec}\, A = V(\mathfrak a) \cup V(\mathfrak b) = V(\mathfrak a \mathfrak b)$, $V(\mathfrak a) \cap V(\mathfrak b) = \varnothing$, (отсюда видно, что $\mathfrak a \mathfrak b \subseteq \mathfrak N$). Таким образом, идеал $\mathfrak a + \mathfrak b$ не содержится ни в каком простом, следовательно, ни в каком максимальном идеале и потому равен $A$. Значит, есть $a \in \mathfrak a$, $b \in \mathfrak b$ такие, что $a + b = 1$.

Существует некоторое $n \in \mathbb N$ такое, что $a^n b^n = 0$, и существуют такие $x,y\in A$, что $x a^n + y b^n = 1$:

\begin{multline*}1=1^{2n-1}=(a+b)^{2n-1}=\\=\underbrace{a^{2n-1}+a^{2n}b+\ldots+a^n b^{n-1}}_{= x a^n}+ \underbrace{a^{n-1} b^n + a^{n-2} b^{n+1} + \ldots + b^{2n-1}}_{y b^n} =\\= a^n \sum_{i=0}^{n-1} a^i b^{n-1-i}+ b^n \sum_{i=0}^{n-1} a^{n-1-i} b^i.\end{multline*}

Тогда, например, $xa^n$ является идемпотентом:

$$(xa^n)^2 = xa^n(1-yb^n) = xa^n - xya^n b^n = xa^n.$$

Утверждение доказано.