Множество мандельброта.

[regfre]

Как найти уравнение кривой соответствующей границе множества Мандельброта построенного методом итераций ?
Тоесть тех что показаны на картинке:

[venco]

$|p_k(z)| = 2$, $z$ - комплексное число
где
$p_0(z) = z$
$p_k(z) = p_{k-1}^2(z)+z$

[regfre]

А можно чтобы было в виде
$ F(x,y) - C = 0 $?

[ewert]

Грубо говоря -- нельзя. Когда мы говорим "эФ" -- подразумеваем обыкновенно некую более-менее гладкую функцию. Уж какой уж тут Мандельброт.

[regfre]

Да но кривые изображенные на рисунке довольно гладкие и я думаю им должны соответствовать уравнения такого вида.
Например первой итерации соответствует уравнение круга.

[venco]

regfre в сообщении #353822 писал(а):

А можно чтобы было в виде
$ F(x,y) - C = 0 $?

Можно.
Например, внешняя кривая $(k=0)$:
$x^2+y^2=4$
Следующая $(k=1)$:
$|z^2+z| = 2 \Rightarrow (z^2+z)(\tilde z^2+\tilde z)=4 \Rightarrow y^4+y^2(2x^2+2x+1)+x^4+2x^3+x^2=4$
И так далее.

[AD]

О. А насколько эффективна будет программа, рисующая множество мандельброта по такого рода уравнению? То есть мы сходу можем найти уравнение $k$-го слоя, а потом нарисовать кривую, им задаваемую, и в качестве факультатива закрасить внутренность ... Насколько это быстрее, чем brute-force?

[Narn]

ewert в сообщении #353823 писал(а):

Грубо говоря -- нельзя. Когда мы говорим "эФ" -- подразумеваем обыкновенно некую более-менее гладкую функцию. Уж какой уж тут Мандельброт.

Есть теорема Уитни, которая утверждает, что любое замкнутое множество можно задать уравнением $F(x,y)=0$, где $F \in C^{\infty}$