Последовательность

[arseniiv]

Боюсь, эта "задача" совсем не в тему, но рискну. По какому принципу наиболее вероятно построена последовательность $1,\ 2,\ 4,\ 3,\ 8,\ 6,\ 16,\ 12,\ 9,\ 5,\ 32,\ 24,\ 18,\ $$10,\ 64,\ 48,\ 36,\ 20,\ 27,\ 15,\ 128,\ 96,\ 72,\ 40,\ 54,\ $$30,\ 256,\ 192,\ 144,\ 80,\ 108,\ 60,\ 81,\ 45,\ 25,\ 7$?

[ИСН]

Вам сколько следующих членов привести?

[arseniiv]

Лучше всего бесконечное количество. То есть алгоритм построения. Хотя можно и один.

Клянусь, алгоритм построения не запутанный. (А то есть, да и справедливая, нелюбовь к продолжению последовательностей.)

[Zealint]

А следующее числа 512, 384, 288, 216, 162, ... ?

[venco]

$W(p_i)=2^i-\epsilon^i$
Порядок по возрастанию $\sum W$

[Zealint]

А что Вы понимаете под $W$?

[arseniiv]

Zealint в сообщении #353153 писал(а):

А следующее числа 512, 384, 288, 216, 162, ... ?

Да.

[Zealint]

arseniiv в сообщении #353159 писал(а):

Да.

Ну, алгоритм я описывать не буду, просто увидел закономерность, которая получается после разложения всех чисел на множители (кроме 1):

2 - 2
4 - 2 2 ( пара двоек сворачивается в 3 )
3 - 3
8 - 2 2 2 ( опять пару двоек сворачиваем в 3 )
6 - 2 3
16 - 2 2 2 2
12 - 2 2 3
9 - 3 3 ( две тройки сворачиваются в 5 )
5 - 5 и т. д.

Короче, каждый раз пара простых множителей сворачивается в следующее простое число.
Когда все числа заканчиваются, берётся следующая степень 2.

[venco]

$W(p_i)=2^i-\epsilon^i$ - вес простого делителя, где $p_i$ - $i$-тое простое число,$\epsilon$ - бесконечно малое число.
Вес числа последовательности - сумма весов всех простых делителей.
$W(2) = W(2) = 2^1-\epsilon^1=2-\epsilon$
$W(4) = 2*W(2) = 2*(2^1-\epsilon^1) = 4-2\epsilon$
$W(3) = W(3) = (2^2-\epsilon^2) = 4-\epsilon^2$
Числа в последовательности упорядочены по возрастанию весов.

[arseniiv]

Ну да, всё так. Как раз я сам определял последовательность через веса, чтобы ей можно было перенумеровать все натуральные числа. Интересная биекция. Правда, бесконечно малое число в вес не входило, но просто я упорядочивал числа одного веса определённым образом.

[venco]

arseniiv в сообщении #353165 писал(а):

Правда, бесконечно малое число в вес не входило, но просто я упорядочивал числа одного веса определённым образом.

Ну да, можно и так. Я просто подумал, нельзя ли формулу веса так модифицировать, чтобы веса получились уникальными. Оказалось - можно.

[arseniiv]

Zealint в сообщении #353161 писал(а):

Короче, каждый раз пара простых множителей сворачивается в следующее простое число.
Когда все числа заканчиваются, берётся следующая степень 2.

Кстати, не так просто, как здесь описали вы. Посмотрите, что происходит, после числа $72 = (3,\ 2)_p$ идёт $40 = (3,\ 0,\ 1)_p$, а потом, однако, $54 = (1,\ 3)_p$. Сначала сворачиваются самые правые множители, но потом, если комбинации закончились, они продолжаются с того места, где можно было свернуть множители левее. Как организовать нерекурсивное построение, не знаю.

[arseniiv]

Никто не знает хотя бы кусочка замкнутой формулы, или хотя бы рекуррентных соотношений?
Кстати, этой последовательности нет в OEIS.