монотонные функции

[terminator-II]

Доказать, что существует непрерывная функция $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ которая не является монотонной ни на каком интервале

[VoloCh]

Траектория винеровского процесса подойдет?

[Null]

Ни где не дифференцируемая подойдет. Если она монотонна на интервале то она почти всюду дифференцируема на нем.

[ShMaxG]

terminator-II в сообщении #352475 писал(а):

Доказать, что существует

Открываем Гелбаума на стр. 42 и видим .

[terminator-II]

Понятно. А я доказывал, что множество монотонных на каком-либо интервале функций имеет первую категорию Бэра в $C[a,b]$.

[VoloCh]

terminator-II в сообщении #352508 писал(а):

Понятно. А я доказывал, что множество монотонных на каком-либо интервале функций имеет первую категорию Бэра в $C[a,b]$.

Интересно ознакомится... Да, и что такое "на каком-либо"? Я готов доказать что множество кусочно-монотонных непрерывных функций плотно в $C[a,b]$.

Поясните, если нетрудно, какое отношение имеет эта ваша нигде не плотность к исходному вашему вопросу? И почему он "олимпиадный"?

[terminator-II]

VoloCh в сообщении #352558 писал(а):

Поясните, если нетрудно, какое отношение имеет эта ваша нигде не плотность к исходному вашему вопросу?

Прямое отношение. Полное метрическое пространство не может иметь первую категорию. Поэтому кроме монотонных на каком-либо интервле функций, в $C[0,1]$ обязательно найдутся и другие.

VoloCh в сообщении #352558 писал(а):

И почему он "олимпиадный"?

А потому, что если не знать теоремы о том, что монотонная непрерывная функция дифференцируема почти всюду, а это нетривиальный факт и, главное, весьма специальный, то доказательство из общих соображений потребует усилий.

-- Wed Sep 15, 2010 09:34:10 --

VoloCh в сообщении #352558 писал(а):

Я готов доказать что множество кусочно-монотонных непрерывных функций плотно в $C[a,b]$.

Не трудитесь: теорема Вейерштрасса о приближении полиномами это уже доказала. Однако то, что я сформулировал этому не противоречит. Я доказываю, что множество монотонных на каком-либо фиксированном интервале функций имеет первую категорию. А потом я беру счетное множество подотрезков так, что в любом интервале содержится по крайней мере один отрезок из этого множества. А дальше объединение счетного числа множеств первой категори это множество первой категории

[VoloCh]

terminator-II в сообщении #352631 писал(а):

... объединение счетного числа множеств первой категори это множество первой категории

Ну, то есть множество рациональных чисел отрезка $[0,1]$ как счетное объединение одноточечных множеств является множеством первой категории в ${\mathbb R}$?

[Профессор Снэйп]

VoloCh в сообщении #352695 писал(а):

Ну, то есть множество рациональных чисел отрезка $[0,1]$ как счетное объединение одноточечных множеств является множеством первой категории в ${\mathbb R}$?

Да, конечно. А что, разве нет?