Адаптивное управление механической системой

[cupuyc]

Задача:
Необходимо разработать систему адаптивного управления ориентацией твёрдого тела, главные моменты инерции которого неизвестны.

1. Для начала рассматриваю неадаптивную систему управления. Ориентацию тела относительно неподвижной СК задаю нормированным кватернионом. Из уравнений Эйлера динамики вращательного движения и кинематических уравнений Пуассона я получил следующую систему ДУ:
$x_1' = q_1 x_2 x_3 + a_1 u_1$
$x_2' = q_2 x_1 x_3 + a_2 u_2$
$x_3' = q_3 x_1 x_2 + a_3 u_3$
$y_i' = 1/2 \sqrt{1-y_j y_j} x_i + 1/2 e_{ijk} y_j x_k, i = 1..3 (суммирование ведётся по повторяющимся парам индексов, $e_{ijk}$ - символ Леви-Чивиты).

$x_i$ - вектор состояния (вектор угловой скорости, заданный в связанной с телом СК).
$q_i, a_i$ - векторы параметров (компоненты векторов - различные комбинации главных моментов инерции)
$y_i$ - вектор выхода (векторная часть кватерниона).
$u_i$ - вектор управления (вектор момента силы, задан в связанной с телом СК)

Данная система является стационарной, т.к. не содержит явной зависимости от времени. Положением равновесия системы является начало координат ($y_i = 0$).

2. Теперь необходимо найти закон управления $u = u(x, y, q, a)$ при котором система будет устойчива и, в идеале, некоторые параметры переходного процесса будут принимать экстремальные значения. Для выполнения условия устойчивости можно задать функцию Ляпунова в виде $V(x, y) = \alpha_{ij} x_i x_j + \beta_{ij} y_i y_j$, $\alpha, \beta$ - положительно определенные матрицы.
Далее, находим производную от выбранной функции Ляпунова в силу приведённой выше системы ДУ и подбираем вектор $u$ таким образом, чтобы полученная производная была отрицательно определённой: $V' = \alpha_{ij} (x_i' x_j + x_i x_j') + \beta_{ij} (y_i' y_j + y_i y_j') < 0$

Сейчас, по идее, нужно подставить производные и получится довольно громоздкая штуковина. Даже и не знаю как такое решать. Единственное, что приходит в голову - выделить из всей суммы 3 слагаемых и на каждое из них наложить ограничение < 0. Получится что-то типа такого:
$\alpha_1 q_1 x_1 x_2 x_3 + \beta_1 \sqrt{1-y_i y_i} x_1 y_1 + a_1 x_1 u_1 < 0$
$...$

Может есть более разумные/оптимальные способы нахождения закона управления? Хотелось бы услышать советы.

3. продолжение следует...

[мат-ламер]

Я в этом понимаю плохо, но вот, если тело бы не свободно вращалось, а добавить бы трения? Мне кажется, что устойчивость при этом повысится.

[cupuyc]

Устойчивость повысится, энергозатраты тоже. Вообще, вопрос не в этом. На данный момент вопрос в том, как лучше выбрать закон управления системы с постоянными параметрами. Тут можно по желаемой переходной характеристике, по экстремуму параметров переходной характеристики и т.п. У меня нет опыта в решении подобных задач. Я только начал разбираться. Поэтому прошу помощи более опытных, знающих людей.