ТВ и Что? Где? Когда? (среднее количество раундов в игре)

[caxap]

Задался вопросом: какое ожидается количество раундов в Что? Где? Когда?, если принять, что знатоки правильно отвечают на любой из 13 вопросов на столе с вероятностью $p$. Проверьте, пожалуйста, моё решение:

Количество рауднов может быть от 6 (счет 6:0) до 11 (6:5). Находим по формуле мат. ожидания:

$$M = \sum_{k=6}^{11} k\cdot \binom{k}{6} p^6 (1-p)^{k-6}$$

Здесь вероятность, что счёт закончиться счётом (k-6):6 (или 6:(k-6)), k от 6 до 11, я нашел по схеме Бернулли.

Но, по-видимому, это неправильно. Ведь при $p=1$ счёт должен быть 6:0 и $M=6$, а на самом деле вот.

-- Пн сен 13, 2010 18:56:33 --

А можно на основании исходных данных найти ожидание счёта?

[Alexey1]

А чему у Вас равна вероятность, что игра закончится за 6 раундов?

[caxap]

$p^6$

[Alexey1]

Это вероятность, что за 6 раундов выиграют игроки.

[caxap]

$p^6+(1-p)^6$ ?

[Someone]

А вероятность окончания за $k$ раундов? Конечно, $6\leqslant k\leqslant 11$.

[Alexey1]

caxap в сообщении #352091 писал(а):

$p^6+(1-p)^6$ ?

Да. Вы рассматриваете событие ($A \cup B$), состоящее в том, что игра закончится за 6 раундов, то есть либо выиграют игроки (событие $A$), либо выиграют телезрители (событие $B$). События не совместны, значит вероятность объединения $P(A \cup B)$ равна сумме вероятностей $P(A)+P(B)$.

[caxap]

Someone в сообщении #352093 писал(а):

А вероятность окончания за $k$ раундов?

$\binom{k}{6}p^6 (1-p)^{k-6}+\binom{k}{6}p^{k-6} (1-p)^k$?

[Someone]

Нет. Вы не учитываете, что последний выигрыш победителя - обязательно в последнем раунде. И опечатка в формуле.

[caxap]

Пусть сыграно $k$ раундов. Если выиграли знатоки, то они выиграли $6$ раундов, а телезрители $k-6$. Вероятность этого $\binom k 6 p^6 (1-p)^{k-6}$. Так?
Если выиграли телезрители, то они выиграли $6$ раундов, а знатоки $k-6$. Вероятность этого $\binom k 6 (1-p)^6 (p)^{k-6}$. Так? Их суммой и будет вер-сть, что сыграно $k$ раундов. Что-то я не понимаю

-- Пн сен 13, 2010 20:26:01 --

Опечатку не нашел

[Someone]

caxap в сообщении #352116 писал(а):

Если выиграли знатоки, то они выиграли $6$ раундов, а телезрители $k-6$. Вероятность этого $\binom k 6 p^6 (1-p)^{k-6}$. Так?

Нет. Вы подсчитали вероятность того, что знатоки выиграли $6$ раундов из $k$. При этом учитываются и случаи, когда они последний раунд проиграли, то есть, $6$ раундов они выиграли в меньшем числе раундов.
Я же сказал: победитель обязательно должен выиграть последний раунд. Поэтому в предыдущих раундах он должен выиграть $5$.

caxap в сообщении #352116 писал(а):

Опечатку не нашел

Невнимательно смотрели. Сравните

caxap в сообщении #352102 писал(а):

$\binom{k}{6}p^6 (1-p)^{k-6}+\binom{k}{6}p^{k-6} (1-p)^k$

caxap в сообщении #352116 писал(а):

$\binom k 6 (1-p)^6 (p)^{k-6}$

[caxap]

Вер-сть, что выиграют знатоки после $k$ раундов: надо выиграть 5 раундов из $k-1$ и последний $k$-ый. Т.е. $\binom k 5 p^5 (1-p)^{k-5} \cdot p=\binom k 5 p^6 (1-p)^{k-5}$.
Учитывая возможность выигрыша телезрителей, всего вер-сть кончить $k$-ым раундом: $\binom k 5 p^6 (1-p)^{k-5} + \binom k 5 (1-p)^6 p^{k-5}$. Теперь правильно?

[venco]

... из k-1 ...

[caxap]

Тьфу ты, простите, вечереет
$\binom {k-1} 5 p^6 (1-p)^{k-6} + \binom {k-1} 5 (1-p)^6 p^{k-6}$ ?

[venco]

Теперь правильно.