Максимизация функционала от плотности вер. распределений...

[lyelische]

Добрый вечер.
Есть такая задачка. Пусть $f(x)$ -- фиксированная функция, $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1,$ $f(x)>0$. Нужно показать, что функционал

$$J(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\ln u(x)\,dx$$

при условии

$$\int_{-\infty}^{\infty}u(x)\,dx=1, \,\,\,u(x)>0$$

достигает максимума при $u(x)=f(x).$
Подскажите, как решать?
Есть мнение, что надо представить, что $f(x)$ и $u(x)$ -- плотности некоторых распределений. Но что дальше, непонятно...

[Null]

У этой функции нет ни максимума, не минимума, и как её считать если $u(x)=1$ в некоторой точке

[lyelische]

Ошибка вышла, функционал такой:

$$J(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\ln u(x)\,dx$$

[Alexey1]

Рассмотрите $-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ln\Big(\frac{f(x)}{u(x)}\Big)dx$ и покажите что он неположителен.

[Null]

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ln\Big(\frac{u(x)}{f(x)}\Big)dx\le 0$
Еще надо добавить $\ln{x}\le x-1$, при x>0

[lyelische]

А как показать, что предложенный вами функционал неположителен? Из условий следует только, что он существует

[Alexey1]

Используйте неравенство $\ln(x) \leq x-1, \ x>0$.

[lyelische]

Спасибо большое!))))

[R_e_n]

Alexey1 в сообщении #351416 писал(а):

Рассмотрите $-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ln\Big(\frac{f(x)}{u(x)}\Big)dx$ и покажите что он неположителен.

А не могли бы вы сказать, где об этом можно почитать? У меня почти такое же задание. Я показал что функционал не положителен. Но я не понимаю зачем это нужно и что делать дальше

[Евгений Машеров]

Смотреть, когда он обращается в ноль...