Сумма ряда

[buba987]

Имеется сумма бесконечного ряда:

$\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{ \left( {k}^{3}+1 \right) ^{2}}}$

Можно ли его выразить каким-либо выражением (рациональным, иррациональным, через известные математические константы - все равно)?
У меня получается только числовой результат 0,28.

[venco]

$$\dfrac {2 - \gamma - \frac{\pi^2}{6} - \frac{1-i\sqrt 3}2 \psi^{(0)}\left(\frac{1-i\sqrt 3}2\right) - \frac{1+i\sqrt 3}2 \psi^{(0)}\left(\frac{1+i\sqrt 3}2\right) - \psi^{(1)}\left(\frac{1-i\sqrt 3}2\right) - \psi^{(1)}\left(\frac{1+i\sqrt 3}2\right)} 9 \approx 0.2800438 $$

$\psi^{(n)}$ - n-ная производная дигамма функции.

-- Чт сен 09, 2010 13:23:27 --

Или:

$$\dfrac 1 9 \sum\limits_{k=-1}^1\left(e^{-\frac {2\pi} 3 k i} \psi^{(0)}\left(e^{\frac {2\pi}3 k i}\right)-\psi^{(1)}\left(e^{\frac {2 \pi}3 k i}\right)\right)$$

[Leox]

Maple дал такой ответ
\begin{gather*} 2/9-{\frac {7}{54}}\,{\pi }^{2}+1/9\,{\pi }^{2} \left( \tanh \left( 1/ 2\,\pi \,\sqrt {3} \right) \right) ^{2}-1/9\,\Psi \left( 1/2+1/2\,i \sqrt {3} \right) +\\+1/18\,i\pi \,\tanh \left( 1/2\,\pi \,\sqrt {3} \right) +1/18\,\sqrt {3}\pi \,\tanh \left( 1/2\,\pi \,\sqrt {3} \right) -1/9\,\gamma \end{gather*}

[ИСН]

Воистину, хрен редьки не слаще.

[buba987]

Нет уж! От таких формул проще застрелиться. Как вы такое за десяток минут определили? Короче нельзя сделать (например, упростить выражения)?

[gris]

$\sum \limits _{k=1}^{\infty }\dfrac {k}{ ( k^3+1 ) ^2}=\sum \limits _{k=2}^{\infty }\dfrac {k-1}{ ( k^3-3k^2+3k-1+1 ) ^2}=\sum \limits _{k=2}^{\infty }\dfrac {k-1}{ k^2( k^2-3k+3 ) ^2}=$

$=\sum \limits _{k=2}^{\infty }\dfrac {Ak+B}{ k^2}+\dfrac {Ck+D}{( k^2-3k+3 )}+\dfrac {Ek+F}{( k^2-3k+3 )^2}=...$

$(Ak+B)( k^2-3k+3 )^2+(Ck+D)( k^4-3k^3+3 k^2)+Ek^3+Fk^2=k-1$

$k=0 \Longrightarrow B=-1/3$ и так далее???

[buba987]

Принцип понятен! Спасибо! Но простого ответа тут ждать не придется. Увы... Опять будет хрен с редькой.