2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неравенства для диагоналей четырехугольника
Сообщение09.09.2010, 03:57 
Легко показывается, что в любом выпусклом четырехугольнике сумма его диагоналей меньше периметра и больше полупериметра этого четырехугольника.
А вот интересно узнать, эти два неравенства улучшаемы или нет?

 
 
 
 Re: Диагонали четырехугольника
Сообщение09.09.2010, 05:55 
Вроде нет. Вытянутый прямоугольник - верхняя граница, вытянутый ромб - нижняя.

 
 
 
 Re: Диагонали четырехугольника
Сообщение09.09.2010, 16:46 
А вот еще хотелось бы узнать такой вопрос:
Если $AC$ и $BD $- это диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$, а $P $- это его периметр, и имеют место следующие неравенства:
$k\frac{P}{2}<AC+BD<mP$ (то очевидно наилучшими $k$ и $m$ являются 1 и 1, как Вы сами заметили по причине неулучшаемости), то верно ли, что наилучшим значение $k+m$ является 2?

 
 
 
 Re: Диагонали четырехугольника
Сообщение09.09.2010, 17:21 
Аватара пользователя
Наилучшим в какую сторону? Впрочем, одно из этих чисел можно уменьшить, другое увеличить, а друг с другом они не связаны никак :D

 
 
 
 Re: Диагонали четырехугольника
Сообщение09.09.2010, 17:36 
Аватара пользователя
venco в сообщении #350692 писал(а):
Вроде нет. Вытянутый прямоугольник - верхняя граница, вытянутый ромб - нижняя.

Почему возможность предельного равенства исключает получить что-то вроде $d_1+d_2>\frac{P}{2}+\epsilon$, $\epsilon \to 0$ при $h \to 0$? $\epsilon$ зависит от соотношения сторон, например. Новое нер-во и будет искомым улучшением, нет? Спасибо.

 
 
 
 Re: Диагонали четырехугольника
Сообщение09.09.2010, 18:49 
ИСН в сообщении #350812 писал(а):
Наилучшим в какую сторону? Впрочем, одно из этих чисел можно уменьшить, другое увеличить, а друг с другом они не связаны никак :D


При каждом конкретном четырехугольнике оба этих неравенства выполняются при каких-то вполне определенных значениях k и m.
И не факт (ну мне так кажется), что существует четырехугольник, для которого оба этих неравенства ОДНОВРЕМЕННО должны выполняются при k=1 и m=1.
Да можно найти такой четырехугольник, чтобы левое не выполнялось при k меньшем единицы. Можно найти и такой четырехугольник, чтобы и правое не выполнялось при m, меньшим 1. А вот оба сразу не очень то я уверен.

Грубо говоря (если S-это сумма диагоналей, а P - это периметр), то правильно или нет будет считать, что эта задача нахождения минимума функции $\frac{P}{S}+\frac{S}{2P}$?

 
 
 
 Re: Диагонали четырехугольника
Сообщение09.09.2010, 19:27 
Sasha2 в сообщении #350686 писал(а):
Легко показывается, что в любом выпусклом четырехугольнике сумма его диагоналей меньше периметра и больше полупериметра этого четырехугольника.
А вот интересно узнать, эти два неравенства улучшаемы или нет?

См. ММ2. Там не только для четырехугольника, но и для произвольного выпуклого (или надо для выпуСклых? :D ) n-угольника.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group