Как можно математически описать систему?

[AnnaB]

Доброе время суток! Раздел "помогите решить" почему-то закрыт, поэтому пишу сюда. Очень нужна помощь математиков

Есть система - два ящика, в одном из которых i частиц, в другом - (N-i). В каждый момент времени случайно выбирается одна из N частиц и перемещается из того ящика, в котором она находится, в другой. Считается, что после перехода в системе восстанавливается исходное состояние (i частиц в одном ящике, (N-i) - в другом) и снова повторяется случайный выбор и перенос.
Рассматривается вероятность того, что за n шагов из ящика с i частицами перейдет k штук, в обратную сторону - l (k+l=n). С точки зрения теорвера эти вероятности будут подчиняться биномиальному закону распределения.
Я хочу попытаться найти их, используя вариационный метод. Однако возник вопрос о том, какие ограничения (кроме нормировки) накладываются на эти вероятности, т.е. необходимо как-то математически формализовать саму систему, чтобы ее можно было отличить от множества других.[/i]

[Really]

Эта система описывается случайным процессом. Данный процесс является цепью Маркова.

[Really]

Цитата:

Считается, что после перехода в системе восстанавливается исходное состояние (i частиц в одном ящике, (N-i) - в другом) и снова повторяется случайный выбор и перенос

Простите поторопился. Вот здесь не очень понятно. То есть, если в момент времени $m_0$ в контейнере находится $i_0$ частиц, а в следующий момент $m_0+1$ одна из этих частиц перешла в другой (то есть число частиц стало равно $i_0-1$ ) , то в момент $m_0+2$ она обязательно возвращается обратно?

Если это не так, то имеем одномерную марковскую цепь. Положение системы целиком определяется количеством частиц в одном из контейнеров.

[AnnaB]

в том-то и дело, что в данном случае считается, что в этой системе поддерживается постоянным число частиц в ящиках. Грубо говоря, берем частицу, переносим и в тот же момент (не в следующий) число частиц в ящике восстанавливается. Но это нужно, чтобы система была стационарной.
а как записать, что на каждом шаге обязательно переходит частица в ту или иную сторону, и только одна?

[PAV]

Не очень понимаю смысла вопроса.

Мы имеем простую схему Бернулли. Испытание - выбор одной из $N$ частиц. Успехом назовем выбор частицы из первого ящика, неудачей - из второго. Вероятность успеха $p=\frac{i}{N}$. Так как все восстанавливается, то испытания независимы и вероятность успеха все время одна и та же.

Проводим $n$ испытаний. Вопрос заключается в вероятности того, что будет ровно $k$ успехов. Формула известна:

$p_n(k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$

Сложность вычисления не зависит от $N$, а зависит только от $n$.
Если $n$ невелико, то несложно вычислить непосредственно по приведенной формуле. Если $n$ велико, то можно пользоваться известными приближениями (предельными теоремами). Более точно, если число $k$ невелико или, наоборот, почти $n$, то работает теорема Пуассона, а если отношение $\frac{k}{n}$ отделено и от 0, и от 1, то работает теорема Муавра-Лапласа. По ним можно получать более-менее точные численные значения.

В чем заключается вопрос?

[AnnaB]

Я знаю, что такая модель описывается схемой Бернулли:)
Но идея заключается в том, чтобы найти эти вероятности вариационным методом, такая модель и выбрана, чтобы сравнить полученный результат с уже известным ответом (бином. распределение). Допускается, что существует некая функция, максимум которой позволит найти распределение вероятностей. Но чтобы воспользоваться методом множителей Лагранжа, необходимы некоторые ограничения на вероятности, характеризующие эту систему. Одно из них - нормировка, но ее недостаточно, т.к.она характеризует любое распределение.

[PAV]

AnnaB писал(а):

Допускается, что существует некая функция, максимум которой позволит найти распределение вероятностей. Но чтобы воспользоваться методом множителей Лагранжа, необходимы некоторые ограничения на вероятности, характеризующие эту систему.

Непривычная постановка. Откуда она появилась?

Главный вопрос тут пока не в ограничениях, а в функции, которую нужно максимизировать. Я пока совсем не понимаю, что это будет за функция и почему она должна достигать максимума именно на искомом наборе вероятностей. По идее, именно в ней должна содержаться основная информация собственно о системе.

[AnnaB]

эта система рассматривается как модель физического процесса, и функция связывается с производством энтропии

[PAV]

А Вы не можете привести явный вид функции?
Что получается, если наложить на вероятности только условие нормировки?
Каков порядок количества шагов $n$?

[AnnaB]

Явного вида функции к сожалению написать не могу, его еще надо придумать и как-то обосновать. Знаю только что его нужно связать с искомыми вероятностями. В любом случае при варьировании только с нормировкой пробных функций получается, что под описание подходит любое распределение, удовлетворяющее нормировке (в том числе и биномиальное). Поэтому и появилась мысль, что не хватает каких-то ограничений, позволяющих выделить из множества решений именно биномиальное распределение.

[AnnaB]

А что касается n, то он может меняться от нуля до бесконечности, интерес представляет как малое число шагов, так и очень большое.