Бесконечное множество содержит счетное подмножество

[Padawan]

Можно ли это строго доказать без аксиомы выбора?

Бесконечное -- не являющееся конечным, конечное -- эквивалентное отрезку натурального ряда.

[Alexey1]

А чем не устраивает доказательство в Колмогорове-Фомине?

[Padawan]

как-то не строго -- что значит "продолжая этот процесс". Его можно сделать строгим, но тогда надо иметь функцию, которая каждому конечному множеству сопоставляет элемент, не принадлежащий этому множеству.

[Null]

Для любого i выбран $a_i$ из множества , со свойством $ a_i\neq a_j$ при $ i\neq j$. Возьмем $\{x|\exists i: a_i=x\}$

[Padawan]

Null в сообщении #350339 писал(а):

Для любого i выбран $a_i$ из множества , со свойством $ a_i\neq a_j$ при $ i\neq j$.

Почему это возможно? Как выбран-то?

[Null]

По индукции:
база для i=1 берем элемент обозначаем $a_1$
Переход: Выбраны $a_1,...,a_i$
возьмем элемент $a_{i+1}$ из $U/\{a_1,...,a_i\}$(оно не пусто)

Так как есть аксиома индукции для любого i выбран элемент
Не уверен что это записывается формально. :(

[Padawan]

Вы доказали, что для любого $n$ можно выбрать $n$ различных элементов $a_i$, $i=1\ldots n$. А надо $a_i$, $i=1\ldots \infty$.

[Null]

И все таки аксиома индукции делает утверждение верным для бесконечного множества разных i

[Padawan]

Сформулируйте утверждение, которые Вы доказываете при помощи индукции.

[Null]

Ладно покопался в инете там написано, что существуют бесконечные множества без счетных подмножеств, если не брать аксиому выбора. Только ссылку которой 100% можно доверять не нашел.
Вы правы.

[Someone]

Null в сообщении #350342 писал(а):

о индукции:
база для i=1 берем элемент обозначаем $a_1$
Переход: Выбраны $a_1,...,a_i$
возьмем элемент $a_{i+1}$ из $U/\{a_1,...,a_i\}$(оно не пусто)

Так как есть аксиома индукции для любого i выбран элемент
Не уверен что это записывается формально.

Вот именно, что без аксиомы выбора оно формально не записывается и, следовательно, ничего не доказывает (хотя такие рассуждения постоянно применяются).

Все известные мне формулировки аксиомы индукции требуют, чтобы было написано так:
"положим $a_{i+1}=\phi(U\setminus\{a_1,\ldots,a_j\})$",
где $\phi$ - функция, которая каждому непустому подмножеству множества $U$ сопоставляет его элемент.
Аксиома выбора как раз даёт эту функцию (точнее, позволяет сказать, что такая функция существует, и взять любую из них).

Без аксиомы выбора Вам придётся явно выписать своё рассуждение бесконечное число раз, что считается невозможным. Но даже если мы это разрешим, то совокупность случайно выбранных элементов не обязана быть множеством.

Padawan в сообщении #350302 писал(а):

Можно ли это строго доказать без аксиомы выбора?

Бесконечное -- не являющееся конечным, конечное -- эквивалентное отрезку натурального ряда.

Существуют модели ZF, в которых имеются бесконечные в таком смысле множества, не содержащие счётного подмножества (Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств. "Наука", Москва, 1982. Томас Дж.Йех. Об аксиоме выбора. §§ 6, 8.). Поэтому без аксиомы выбора это недоказуемо.

[Виктор Викторов]

Padawan в сообщении #350302 писал(а):

Можно ли это строго доказать без аксиомы выбора?

Бесконечное -- не являющееся конечным, конечное -- эквивалентное отрезку натурального ряда.

Этот вопрос подробно обсуждается в книге "Set Theory and Logic" by Abraham Fraenkel. Если у Вас нет возможности её добыть, свяжитесь со мной с помощью ЛС.

[Padawan]

Someone в сообщении #350397 писал(а):

Существуют модели ZF, в которых имеются бесконечные в таком смысле множества, не содержащие счётного подмножества (Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств. "Наука", Москва, 1982. Томас Дж.Йех. Об аксиоме выбора. §§ 6, 8.). Поэтому без аксиомы выбора это недоказуемо.

Спасибо!