Сколько треугольников

[Sasha2]

Вот есть такая задачка:
Сколько треугольников можно составить из отрезков 2,3,4,5,6,7?

Я насчитал 12:
(2,3,4)
(2,4,5)
(2,5,6)
(2,6,7)
(3,4,5)
(3,4,6)
(3,5,6)
(3,5,7)
(3,6,7)
(4,5,6)
(4,5,7)
(5,6,7)
Но в ответе сказано, что треугольников 13. Интересно, какой я теряю?

[Null]

(4,6,7)

[Sasha2]

Спасибо

-- Чт сен 02, 2010 23:06:24 --

А вот еще такой вопрос. Это уже не из задачника, так что ответа я не знаю и сообразить сразу не могу.
Верно ли, что из отрезков $k,k+1,...,k+n$можно составить столько же треугольников, сколько и из отрезков $l,l+1,...,l+n$, если $k$ не равно $l$.

-- Чт сен 02, 2010 23:10:19 --

А вообще-то кажется, что их должно быть одно и то же число. Ибо если треугольник с некоторыми сторонами существует, что тогда мы все его стороны можем увелисить на одну и ту же величину, так что он продолжит оставаться треугольником.

[lel0lel]

Sasha2 в сообщении #349227 писал(а):

А вообще-то кажется, что их должно быть одно и то же число.

Число разное.

Sasha2 в сообщении #349227 писал(а):

Ибо если треугольник с некоторыми сторонами существует, что тогда мы все его стороны можем увелисить на одну и ту же величину, так что он продолжит оставаться треугольником.

Это верно, но вот уменьшив все стороны на единицу, он уже может не являться треугольником. Так как имеем неравенство $a+b>c$, а для нового треугольника $a+b-2\geqslant c-1$, если длины сторон натуральные числа. Можно на этом треугольнике поглядеть: (2,6,7).

[Sasha2]

А если стороны и того и другого расположить в порядке возрастания или убывания?
Вообще это неравенство треугльника лучше всего проверять, как самая большая сторона меньше двух других.

P.S. Краний случай, это когда сторона одного из них равна 1, тогда ее, конечно, уменьшить нельзя. Но а данном случае, это не реализуется. Кажется так.

[lel0lel]

Sasha2 в сообщении #349264 писал(а):

Вообще это неравенство треугльника лучше всего проверять, как самая большая сторона меньше двух других.

Всё правильно, я полагал, что $c>max(a,b)$. Проверьте на таком случае: число треугольников с такими сторонами (2, 3, 4, 5), а затем с такими (3, 4, 5, 6).

[Sasha2]

Да все верно, у Вас точный контрпример. Зеачит не все так просто с этими треугольниками.
А вроде, на первый взгляд простенькая задача.
Наверно такая же задача для четырехугольников уже неподъемная.

[lel0lel]

По-моему, вполне подъёмная, можно даже аналитику подвести, если не отходить от исходной последовательности натуральных чисел. Просто неравенство проверять нужно будет следующее $d<a+b+c\, ,$ с соответствующими оговорками.

[Sasha2]

Да действительно, это неравенство справедливо, то есть любая сторона четырехугольника меньше сумма трех остальных. Это тривиально показывается. Но это отнюдь не достаточное условие.
Грубо говоря, не очень то я уверен, что если наибольшая сторона четырехугольника удовлетворяет этому неравенству, то такой четырехугольник существует.
А вообще интресно, есть ли для четырехугольников такой же критерий существования по четырем сторонам, как и для трегольников по трем?

-- Пт сен 03, 2010 00:38:00 --

Кстати вот еще в связи с этим хотелось бы узнать (решать не надо, нужно только ответить одна эта задача или две раазные):

Первая задача: Построить четырехкгольник по его четырем сторонам.
Вторая задача: Построить четырехугольник, зная чему равн его сторона AB, его сторона BC, его сторона CD и его сторона AD.

Для треугольников понятно, что это одна и та же задача. Там неважно как стороны обозначены. А вот для четырехкгольников я не очень то уверен, что эти две задачи эквивалентны.

[ИСН]

На минуточку: треугольник - жёсткая фигура, а четырёхугольник-то - нет.

[Sasha2]

Да понятно теперь, почему в различных строительных конструкциях четырехугольные контуры прошиваются крест-накрест.
Наврено, чтобы жесткость придать.