Что означает вектор на матрицу на вектор?

[Dims]

Каков обычно "физсмысл" матричного выражения

$x^T A x$, где x - столбец, а A - матрица?

Такое выражение присутствует, например, в показателе экспонены многомерного нормального распределения

$e^{-\frac{1}{2}(\mathbf{x} - \mathbf{\mu})^{\top} \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{\mu})}$

В квантовой механике подобное выражение обозначает среднее значение физической величины, задаваемой оператором A, в состоянии x.

А общематематический "физсмысл" у этого выражения есть?

[ewert]

Dims в сообщении #349181 писал(а):

А общематематический "физсмысл" у этого выражения есть?

Общематематических физических смыслов не бывает.

[Dims]

Я построил график $x' A x$ для двумерного случая и получил параболоид, ориентированный по собственным векторам матрицы A.

Почему так?

[alex1910]

Dims в сообщении #349240 писал(а):

Я построил график $x' A x$ для двумерного случая и получил параболоид, ориентированный по собственным векторам матрицы A.

Почему так?

Потому что это - квадратичная форма - это если про параболоид.

Или скалярное произведение - если больше "физические смыслы" интересуют.

Возьмите любой учебник линейной алгебры - и будет Вам счастье:)

[ewert]

По определению.

Потому, что квадратичная форма матрицы -- это наиболее общий (с точностью до сдвига) вид квадратичной зависимости (которая, в свою очередь, есть простейшая зависимость после линейной).

И чего ж Вы ожидали?...

Ну могли, конечно, получить седло (или корыто, или ещё чего-нить вырожденное, в порядке исключения).

[Dims]

alex1910 в сообщении #349242 писал(а):

Потому что это - квадратичная форма - это если про параболоид.

Почему он ориентирован по собственным векторам?

Цитата:

Или скалярное произведение - если больше "физические смыслы" интересуют.

Скалярное произведение это x'x, а что такое x'Ax? "Физсмысл" у меня в кавычках, речь не о физике, а о любой небанальной интерпретации. Почему выражение x'Ax входит во многие формулы? В чём его "прелесть"? То, что это квадратичная форма или скалярное произведение -- и так понятно.

[ewert]

Dims в сообщении #349248 писал(а):

Почему выражение x'Ax входит во многие формулы? В чём его "прелесть"? То, что это квадратичная форма или скалярное произведение -- и так понятно.

В том и прелесть -- что квадратичная зависимость есть простейшая из нелинейных. В частности, есть и другие соображения, но и этого уже достаточно.

[alex1910]

Dims в сообщении #349248 писал(а):

alex1910 в сообщении #349242 писал(а):

Потому что это - квадратичная форма - это если про параболоид.

Почему он ориентирован по собственным векторам?

Цитата:

Или скалярное произведение - если больше "физические смыслы" интересуют.

Скалярное произведение это x'x, а что такое x'Ax? "Физсмысл" у меня в кавычках, речь не о физике, а о любой небанальной интерпретации. Почему выражение x'Ax входит во многие формулы? В чём его "прелесть"? То, что это квадратичная форма или скалярное произведение -- и так понятно.

Про главные оси.

1. Потому, что косинус нуля - единица.
1'. Потому, что главные оси кв. формы - собственные вектора оператора A.
1''. Более подробно - в любом учебнике.

Про "прелесть".

2. В ряд Тейлора раскладывать не пробовали? С точностью до квадратичных членов.

[hurtsy]

Dims в сообщении #349181 писал(а):

Каков обычно "физсмысл" матричного выражения

$x^T A x$, где x - столбец, а A - матрица?

В конечно-разностных аппроксимациях эта величина считается енергией.(Самарский А.А.) С уважением,

[Dan B-Yallay]

Dims писал(а):

Скалярное произведение это x'x, а что такое x'Ax? "

Посмотрите на ваше скалярное произведение как на
$x^T E x$ где Е - единичная матрица.

[Henrylee]

А если $A$ симметричный положительный оператор, то $x'Ay$ настоящее скалярное произведение. А $\sqrt{x'Ax}$ норма. Если $A$ ковариационный оператор гауссовской меры в линейном пространстве, то $<Ax,x>$ дисперсия $x$. А вообще это все частности, конечно. Вы чего-то другого ждете