Нашел задание, вроде решил. Сомневаюсь в верности.
Нужно доказать что
![$ |a + b| \ge ||a| - |b||$ $ |a + b| \ge ||a| - |b||$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/9/f3961ca82bbfb749d495b03038f3b8e982.png)
. Без доказательств принимаем это неравенство равным
![$ |a + b| \ge |a| - |b| \ge - |a + b|$ $ |a + b| \ge |a| - |b| \ge - |a + b|$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/b/3fb71505c30ab067d901cf32b228777082.png)
. Откуда используя свойства неравенств, находим что нужно доказать
![$ |a + b| \ge |a| - |b|$ $ |a + b| \ge |a| - |b|$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/277cf93bcfc3ff88504f7eb79ee3317e82.png)
и
![$ |a + b| \ge |b| - |a|$ $ |a + b| \ge |b| - |a|$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/7/067aaba6d67f5cf5655ccbe1c7a12e9482.png)
. Модуль по определению большее число из
![$ a + b$ $ a + b$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/4/db435135a0031aa71ca0c64ad347f53a82.png)
и
![$ - a - b$ $ - a - b$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/9/a9922f735a0565cfe76459626500369482.png)
. Следовательно, если a и b одного знака, их можно принять положительными, и тогда их сумма будет больше (или равна)
![$ |a| - |b|$ $ |a| - |b|$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/a/bfa0b5f53e40e9bc5224b9b53d9d26b582.png)
, как разности одного из слагаемых с положительным числом (или нулем). Если они разных знаков и их модули равны то
![$|a + b| = |a| - |b| = 0$ $|a + b| = |a| - |b| = 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/0/180126900dd845eceac9c5de9351901682.png)
. Если их модули не равны то примем положительной ту переменную, чей модуль больше (И значит алгебраическая сумма будет положительным числом). Если в выражении
![$|a| - |b|$ $|a| - |b|$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/b/c0b0bc60a6d01c210c74b86c773459ec82.png)
такой переменной будет уменьшаемое то
![$|a + b| = |a| - |b| $|a + b| = |a| - |b|](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/0/2c04a28911567cbbdac00e69785bd57a82.png)
, если вычитаемое то
![$|a +b| > |a| - | b|$ $|a +b| > |a| - | b|$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/8/158c4e0a3670b0bf2bb0f227faf8a60082.png)
как отрицательное.
Во всех случаях
![$|a + b| \ge |a| - |b|$ $|a + b| \ge |a| - |b|$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/b/23bff9e4812ea5274d8f3ac646e1629582.png)
Аналогично доказывается для
![$|b| - |a|$ $|b| - |a|$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/3/f1301820f64dfa0c2831a09ca9877e0182.png)
Вот сейчас написал, кажется, какое-то убогое решение
![:oops: :oops:](./images/smilies/icon_redface.gif)
. Наверняка есть проще.