Существование предела функции в бесконечности.

[bull_mipt]

Функция $\[ f(x) \in C[0, + \infty ) \]$ и такова, что $\[ \forall a > 0:f(na) \to 0,n \to \infty \]$. Доказать, что $\[ f(x) \to 0,x \to \infty \]$.

Собственных мыслей по-поводу этой задачи пока нет.

[ИСН]

Чтобы получше ощупать руками эту задачу, рекомендую выкинуть условие непрерывности и найти контрпример, который тогда станет возможен. Мы стремимся к нулю по всем арифметическим прогрессиям; стремимся ли мы к нулю вообще?

[bull_mipt]

Ну контрпример можно такой: $\[ f(x) = \left\{ \begin{gathered} 1,x = n + \sqrt[n]{2} \hfill \\ 0,x \ne n + \sqrt[n]{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.,n \in N \]$. Последовательность вида $\[ x_n = an \]$ попадет не в нули $\[ f(x) \]$ конечное число раз и $\[ f(an) \to 0 \]$ при заданном $\[ a \]$. Я прав?

[ИСН]

Можно и так.
(К чему эти лишние навороты, корень квадратный тоже подошёл бы.)

[paha]

может быть психологически проще рассматривать функцию $F(x)=f(1/x)$ при $x\to 0$?