Найти сумму ряда

[Sonic86]

$$ \sum\limits_{m=0}^{+ \infty}\frac{2^m}{2^{2^m}+1} $$

(Оффтоп)

извините, если задача глупая

[Padawan]

$\sum\limits_{m=0}^n\frac{2^m}{2^{2^m}+1}=1-\frac{2^{n+1}}{2^{2^{n+1}}-1}\to 1$
По индукции, наверное, можно доказать (формула найдена эмпирически). Хотелось бы без индукции вывод посмотреть, при помощи преобразований.

[meduza]

Если важен только результат, то достаточно посчитать несколько первых членов. Дальше они уже почти перестают какой-то вклад делать.

[Хорхе]

Преобразованиями получил такое (если нигде не ошибся):

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2^n}}{2^{2^{n+1}}-1}.\eqno{(1)} $$

-- Вс авг 29, 2010 14:49:31 --

Ага, ну это очевидно, что равно единице (домножили на $2^{-2^{n+1}}$, записали в числителе $1+2^{-2^{n}}-1$ и все посокращалось).

Если интересно, могу написать, как я пришел к формуле (1).

[Хорхе]

Раз никому не интересно, то напишу

$$ \sum_{m=0}^\infty \frac{2^m}{2^{2^m}+1} = \sum_{m=0}^{\infty}\sum_{k=1}^\infty (-1)^k 2^{m-k2^m}. $$

Далее пишем $k$ в виде $(2s+1) 2^l$ и заменяем $l+m$ на $n$. Получим ($\gamma(n,m)=0$ для $m=n$ и $1$ иначе)

$$ \gathered \sum_{m=0}^{\infty}\sum_{s=0}^\infty\sum_{n=m}^\infty (-1)^{\gamma(n,m)} 2^{m-(2s+1)2^n}=\\ =\sum_{n=0}^\infty \sum_{s=0}^\infty 2^{-(2s+1)2^n}\sum_{m=1}^n (-1)^{\gamma(n,m)} 2^{m}=\sum_{n=0}^\infty \sum_{s=0}^\infty 2^{-(2s+1)2^n}= \sum_{n=0}^\infty \frac{ 2^{-2^n}}{1-2^{-2^{n+1}}} \endgathered $$

[Sonic86]

Хорхе писал(а):

Раз никому не интересно, то напишу

почему же, с удовольствием прочту

Я сам формулу так нашел: берем ряд $\sum\limits_{k=0}^{+ \infty}\frac{k}{2^k}$, находим его сумму, а затем представляем $k$ в числителе в двоичной системе счисления, а затем делаем перегруппировку по номеру разряда, суммируем и упрощаем.

-- Вс авг 29, 2010 20:33:12 --

А оказалось, что все проще.