Алгебраические уравнения

[Sasha2]

Вот если, пофантазировав, предположить, что мы умеем решить любое алгебраическое уравнение с положительными коэффициентами, означает ли это, что мы сможем решить и алгебраическое уравнение с любыми коэффициентами?

[ИСН]

Дак снести начало координат подальше вправо - и что угодно станет положительным.

[Sasha2]

Нет отнюдь не так.
Между прочим Вы даже не отвелили и на такой вопрос.
Если мы умеем решать все уравнения, у которых вещественные части корней положительны, о умеем ли мы решать и все остальные уравнения.
При наличии мнимых частей, отнбдь не факт, что они станут положительными. Может быть, но это не очевидный факт.

[ewert]

Если у уравнения (с вещественными коэффициентами, конечно) вещественные части всех корней отрицательны, то и все коэффициенты положительны. И этот факт вполне тривиален -- просто тупо поперемножайте выражения вида $(x-\alpha-i\beta)^k(x-\alpha+i\beta)^k$.

Да, а что касается ответа ИСН на исходный вопрос -- то он абсолютно верен по ещё более тривиальным причинам: в любой достаточно далеко уведённой вправо точке каждая из производных, очевидно, положительна (с соотв. оговорками, естественно).

[Sasha2]

А мне почему то всегда казалось, что если у алгебраического уравнения все коэффициенты положительны, то ни одного положительного корня (если он вещественный) у него не может быть.

[ewert]

Это правда (я там слова перепутал, пардон, исправил), но это не значит, что у него не может быть комплексных корней с положительными вещественными частями.

[Leox]

ИСН в сообщении #347839 писал(а):

Дак снести начало координат подальше вправо - и что угодно станет положительным.

При переносе начала координат вправо вы получите все положительные коеффициенты?

На самом деле вы ответили на такой вопрос - предположим что мы можен находить положительные корни уравнений, можем ли мы тогда находить и отрицательные корни? Тогда да, переносом делаем корни положительные, находим и потом возвращаемся назад.

Вопрос топикстартера был об другом.

[ИСН]

Да, получу, а что?

[lel0lel]

ИСН в сообщении #347958 писал(а):

Да, получу, а что?

А как? Например такой случай: $x^3-7x+1$. Пусть перенос такой:$x\to y-10$, тогда все три корня $y^3-30 y^2+293 y-929$ положительные, но не коэффициенты ведь. Для произвольного полинома не получится линейной заменой убить все отрицательные коэффициенты.

[Xaositect]

Перенос вправо - это $x = y + a$, $a > 0$
Как уже сказал ewert, все производные многочлена будут положительными, если мы уйдем достаточно далеко вправо, а значит и коэффициенты тоже.

[ИСН]

Что как? Как я переносом начала координат вправо сделаю коэффициенты положительными? Так и сделаю: перенесу вправо, и всё. Влево переносить не буду.
Про корни я в этой теме ничего не говорил. Не говорил про корни. Нету корней. Не отвечал на вопрос про корни. Как ещё сказать?

[lel0lel]

ИСН и Xaositect, это я сначала сообразить не мог. Спасибо за разъяснения.

[alekcey]

Чего только можно и не можно нафантазировать. В реальности, как все мы знаем, уравнения решаются численно. Причём алгебраические решаются давно и полностью, не смотря на знаки коэффициентов. Сами корни находятся внутри окружности, величина радиуса которой зависит от отношения модулей известных коэффициентов … Что до СНАУ, то, похоже, с ними та же история…

[Leox]

lel0lel в сообщении #347984 писал(а):

ИСН и Xaositect, это я сначала сообразить не мог. Спасибо за разъяснения.

если поняли то еще и мне обясните как в многочлене $1-x$ сдвигом вправо $x=x+a$ получить положительные коеффициенты?

[ewert]

Leox в сообщении #347999 писал(а):

если поняли то еще и мне обясните как в многочлене $1-x$ сдвигом вправо $x=x+a$ получить положительные коеффициенты?

Тривиально: предварительно умножив на минус единичку. Что всеми и подразумевалось, на то и соотв. оговорки.