Теорема Лагранжа о границах корней полиномов

[The DEADman]

Добрый вечер!

Имеется многочлен с действительными коэффициентами; хочется локализовать его корни.
Есть два вопроса по формулировке теоремы Лагранжа.

Теорема Лагранжа
-----------------------

Все вещественные корни полинома $$f(x) = a_{0}x^n + a_{1}x^{n-1} + ... + a_{n} \in \mathbb{R}[x]$$ удовлетворяют неравенству:\newline\newline$\lambda_{j} < 1 + \sqrt[r]A$, где $A = {max}\limits_{k = 1...n}\left|\frac {a_k} {a_0}\right|$\newline\newline r - номер первого отрицательного коэффициента.

Ссылка на источник: http://pmpu.ru/vf4/polynomial

-----------------------

Смутило два момента.

1. r нумеруются с 0 или с 1?

Если с нуля, то как быть, если первый же коэффициент многочлена - отрицательный? Бишь, каким образом извлекать корень нулевой степени из выражения?

2. Что делать, если отрицательных коэффициентов вообще нет?

Позволительна ли в этом случае замена $g(x) = -f(x)$, в ходе которой ВСЕ коэффициенты станут отрицательными, а корни останутся теми же?

[ShMaxG]

1) $r$ нумеруется с нуля, там же при старшей степени стоит $a_0$. Индекс = нумерация.

2) Если отрицательных коэффициентов нет, то и положительных корней нет, тогда оценка такая и не нужна (нуль же ограничивает сверху). При замене $g(x)=-f(x)$ знак коэффициента при старшей степени изменится, но по условию необходимо $a_0 > 0$, знак здесь фиксирован. Другое дело, что надо произвести замену $g(x)=f(-x)$, о которой там написано.

[The DEADman]

Спасибо!
Таким образом, из-за $a_0>0 корень нулевой степени никогда не возникнет.

А если наоборот: знак при старшем коэффициенте - минус? (остальные коэффициенты - с различными знаками). Можно ли делать замену $g(x) = -f(x)$ и применять теорему?

[ShMaxG]

The DEADman в сообщении #347765 писал(а):

А если наоборот: знак при старшем коэффициенте - минус? (остальные коэффициенты - с различными знаками). Можно ли делать замену $g(x) = -f(x)$ и применять теорему?

Кто ж запрещает? Корни-то те же И теорему можно применить.

The DEADman в сообщении #347765 писал(а):

Таким образом, из-за $a_0>0$ корень нулевой степени никогда не возникнет.

Да, не возникнет. Но числа $r$ может и не существовать, но в этом случае теорему и не надо принимать, т.к. и так все ясно.

[The DEADman]

Спасибо большое!
Моя программа спасена :)

-- Пт авг 27, 2010 23:08:50 --

...Еще одно уточнение.

В другом источнике (http://www.pm298.ru/mnog5.php) говорят вместо A использовать величину $B = max(|a_i/a_0|), a_i < 0$.

Бишь, брать максимум модулей только отрицательных (а не всех) коэффициентов.
Это баг или фича?