2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сравнимость множеств через лемму Цорна
Сообщение27.08.2010, 06:56 


13/12/05
3592
Теорема. Любые два множества сравнимы по мощности.
Доказательство. Пусть даны два непустых множества $A$ и $B$. Рассмотрим множество $M$ всех функций $f$ таких, что область определения $D_f\subset A$, $f\colon D_f\to B$ и $f$ -- иньекция.
Для $f,g\in M$ полагаем $f\leqslant g$, если $D_f\subset D_g$ и $f=g|_{D_f}$, т.е. $g$ является продолжением $f$. Это частичный порядок.
Проверим выполнение условия леммы Цорна. Если $\{f_p: p\in I\}$ -- линейно упорядоченное подмножество, то его верхней гранью будет функция, у которой ${\mathrm {graph}} \  f = \bigcup_{p\in I} {\mathrm {graph}} \ f_p$.
Пусть $f$ -- максимальный элемент. Тогда либо $D_f=A$, либо $f(D_f)=B$, так как в противном случае найдется точка $a\in A\setminus D_f$ и точка $b\in B\setminus f(D_f)$, и можно продолжить $f$, полагая $f(a)=b$.
Теорема доказана.

Обычно по-моему эту теорему при помощи полного упорядочивания доказывают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнимость множеств через лемму Цорна
Сообщение27.08.2010, 13:15 


24/03/07
321
ничего удивительного, лемма Цорна эквивалента принципу вполне упорядочивания, причем эта эквивалентность довольно проста.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group