Задача по геометрии (вступительная МГУ 1984)

[^-^]

Задача из вступительных на мехмат МГУ в 1984 году, номер 3.
Из середины D гипотенузы АB прямоугольного треугольника АBC проведен луч, перпендикулярных к гипотенузе и пересекующий один из катетов. На нем отложен отрезок DE, длина которого равно половине отрезка АВ. Длина отрезка СЕ равна 1 и совпадает с длиной одного из катетов. Найти площадь треугольника АВС.

Что делала я. Предположила, что ВС=1. х - половина гипотенузы АВ. По теореме Пифагора выразила ЕВ через х. За $\alpha $ обозначен угол СВЕ. Выразила $\cos \alpha $ через х, учитывая, что $\cos(\alpha+45^o)= \frac {1} {2x}$. Подставила $\cos(\alpha)=\frac {1} {2}(\frac {1} { \sqrt{2}x}+\sqrt{2-\frac {1} {2x^2}})$ в уравнение, полученное из теоремы косинусов $1=1+2x^2-2x\sqrt{2}\cos(\alpha)$. В результате получилось уравнение четвертой степени относительно x. Выбираю решение $x^2=\frac {2+\sqrt{2}} {2}$, учитывая, что косинус убывает от 0 до 90 градусов. В итоге получается ответ как в задачнике. Ситуации соответствует рис. 1.
Но если рассмотреть точно так же случай, когда DE пересекает BC=1, тоже получается, по-моему, нормальный ответ $S=\frac {\sqrt{2}-1}{2}$, но этого ответа в задачнике нет. Не могу понять, почему в задачнике только один ответ. Может быть второй случай не реализуется? Почему?

[venco]

Реализуется, только тогда |DE| будет направлен наружу.

[^-^]

Поясните, пожалуйста, "наружу" это значит |DE| не будет пересекать ни одного катета? Почему же тогда мой второй рисунок не верен?

[venco]

У Вас оба рисунка не верны.
На первом - |DE| - не перпендикуляр.
На втором - |CE| <> |CB|
Качественно правилен второй рисунок, только надо выбрать другой катет: |CE| = |CA|.

[^-^]

Спасибо! Кажется, разобралась: DE может пересекать только катет не равный 1, иначе получается чепуха, например, равнобедренный треугольник с разными углами при основании. Теперь так?

[venco]

Так.