Параболическая интерполяция. В чем ошибка?

[dasalam]

Вообщем задача такова есть измеренные потока (x): { 0, 25, 50, 75, 100, 150, 200} и соответствующие значения напряжения(y) { 1.00, 2.99, 3.82, 4.30, 4.58, 4.86, 5.00 }. Нужно найти коэффициента полинома 2-ой степени по МНК.
Пытался считать как в книге Линник Ю.В. "Метод наименьших квадратов и основы математической статистики статистики" (даже пример там хороший нашел с. 283-284).
Начал с того, что нашел ортогональные полиномы ($[x] = 600; [x^2] = 81250; [x^3] = 12937500$):
$\phi_{0} = 1; \phi_{1} = x-85.71; \phi_{2} = x^2-200.30-11607.14$
Ну а затем коэффициенты (в аналитической зависимости $y = c_{0}*\phi_{0} + c_{1}*\phi_{1} + c_{2}*\phi_{2}$):
$c_{0} = 3.7929; c_{1} = 0.0168; c_{2} = -0.0002$
Ну и аналитическая зависимость получилась довольно бредовая, т.к. даже "на глаз" можно определить коээфициенты прямой, которая бы лучше аппроксимировала y(x). Собственно был бы очень признателен человеку, который укажет мне на ошибки

[mitia87]

Как-то все слишком сложно.

(Оффтоп)

Если это обычный МНК, то можно просто записать условие минимума 1 порядка для суммы квадратов отклонений и получить систему из 3 уравнений с 3 неизвестными (коэффициентами).

[dasalam]

Просто я пишу это как программу. И мне показалось что посчитать 6 величин легче, чем писать функцию для решения системы.

[mitia87]

Там система 3 x 3. Её можно или руками решить, или пакетом и вбить в программу уже готовые формулы. Хотя это дело вкуса.

[dasalam]

Ладно, спасибо, попробую так. Но все таки интересно что тут не так.

[GAA]

dasalam в сообщении #344260 писал(а):

$\phi_{0} = 1; \phi_{1} = x-85.71; \phi_{2} = x^2-200.30-11607.14$

Опечатка в $\phi_{2}$: должно быть $\phi_{2} = x^2-200.30 (x- \bar x) - 11607.14$.

Для сравнения я приведу мои значения коэффициентов:
$\bar x = 85.71428571$;
$ b_0 = -11607.14286$, $b_1 = -200.2994012$;
$ c_0 = 3.792857143$, $c_1 = 0.01675089820$, $c_2 = -0.0001663507521$.

Для второго порядка кривая неплохо приближает данные.

[ewert]

dasalam в сообщении #344269 писал(а):

Просто я пишу это как программу.

Тем более проще выписать системку:

$$\begin{cases}c_0\cdot n+c1\cdot\sum x_i+c2\cdot\sum x_i^2=\sum y_i \\ c_0\cdot\sum x_i+c1\cdot\sum x_i^2+c2\cdot\sum x_i^3=\sum y_ix_i \\ c_0\cdot\sum x_i^2+c1\cdot\sum x_i^3+c2\cdot\sum x_i^4=\sum y_ix_i^2 \\ \end{cases}$$

(для модели $y(x)=c_0+c_1x+c_2x^2$) и решать её методом Гаусса (благо никаких перестановок строк заведомо не потребуется). Строчек пятнадцать на всё про всё должно хватить.

И ещё одна ошибка в том, что МНК -- это не интерполяция.

[dasalam]

GAA в сообщении #344296 писал(а):

dasalam в сообщении #344260 писал(а):

$\phi_{0} = 1; \phi_{1} = x-85.71; \phi_{2} = x^2-200.30-11607.14$

Опечатка в $\phi_{2}$: должно быть $\phi_{2} = x^2-200.30 (x- \bar x) - 11607.14$.

Для сравнения я приведу мои значения коэффициентов:
$\bar x = 85.71428571$;
$ b_0 = -11607.14286$, $b_1 = -200.2994012$;
$ c_0 = 3.792857143$, $c_1 = 0.01675089820$, $c_2 = -0.0001663507521$.

Для второго порядка кривая неплохо приближает данные.

Спасибо, действительно помогло