Интегральный логарифм

[e7e5]

Пусть
$Li(x)=\int \limits_0^x \frac {1} {\ln t} dt$
Нужно найти такое $x$, при котором $Li(x)=0$

Как обычно находят, что $x\approx 1.451369234883381...$?

[mitia87]

Не знаю, как это делают обычно, но можно так. Выбираете хорошую квадратурную формулу (с соответствующим весовым множителем, "обрабатывающим" особенность) и, последовательно суммируя, находите интеграл с увеличивающимся верхним пределом. До тех пор, пока с хорошей точностью не получите 0.

[e7e5]

mitia87 в сообщении #344221 писал(а):

Выбираете хорошую квадратурную формулу (с соответствующим весовым множителем, "обрабатывающим" особенность)

И какую бы квадратурную формулу Вы предложили для обработки особенности при $t=1$?

[Someone]

$\mathop{\mathrm{Li}}x=\int\limits_0^x\frac{dt}{\ln t}=\int\limits_0^x\frac{dt}{t-1}+\int\limits_0^x\left(\frac 1{\ln t}-\frac 1{t-1}\right)dt=\ln|x-1|+\int\limits_0^x\frac{t-1-\ln t}{(t-1)\ln t}dt$
В последнем интеграле подынтегральная функция регулярна в точке $t=1$.

[mitia87]

Someone в сообщении #344227 писал(а):

$\mathop{\mathrm{Li}}x=\int\limits_0^x\frac{dt}{\ln t}=\int\limits_0^x\frac{dt}{t-1}+\int\limits_0^x\left(\frac 1{\ln t}-\frac 1{t-1}\right)dt=\ln|x-1|+\int\limits_0^x\frac{t-1-\ln t}{(t-1)\ln t}dt$
В последнем интеграле подынтегральная функция регулярна в точке $t=1$.

Здорово. А я и подзабыл этот способ избавления от особенности - отнять первый член разложения подынтегральной функции в ряд в соответствующей точке.
А в этом случае функция вообще выйдет непрерывная.

[e7e5]

Someone в сообщении #344227 писал(а):

$\mathop{\mathrm{Li}}x=\int\limits_0^x\frac{dt}{\ln t}=\int\limits_0^x\frac{dt}{t-1}+\int\limits_0^x\left(\frac 1{\ln t}-\frac 1{t-1}\right)dt=\ln|x-1|+\int\limits_0^x\frac{t-1-\ln t}{(t-1)\ln t}dt$
В последнем интеграле подынтегральная функция регулярна в точке $t=1$.

т.е $Li(x)=ln(1-x)+Ei(lnx)-ln(1-x)=0$, чтобы найти корень уравнения, только численные методы помогут в решении
$Ei(lnx)=0$?