Ошибка в условии задачи о делителях нуля в кольцах?

[Bach]

Нужна помощь специалистов в области алгебры.

В девятнадцатом выпуске ("Дискретная математика") комплекса учебников "Математика в техническом университете" МГТУ им. Баумана есть такая задача (опускаю "вводную" часть задачи, в которой даются определения обратимого элемента кольца и делителя нуля):

Доказать что:
а) элемент кольца обратим (слева, справа) тогда и только тогда, когда он не является делителем нуля (правым, левым).

Понятно, что по сути здесь две однотипные задачи, условие одной из которых формулируется так:

элемент кольца обратим слева тогда и только тогда, когда он не является правым делителем нуля.


Во-первых, мне удалось доказать только то, что если элемент кольца обратим слева, то он не является левым (а не правым) делителем нуля и, соответственно если обратим справа, то не является правым делителем нуля.

Во-вторых, рассмотрим кольцо целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. В этом кольце нет делителей нуля, а значит нет левых (правых) делителей нуля. Тогда любой отличный от нуля элемент (следуя утверждению в условии задачи) должен быть обратим справа (слева). Но любой элемент этого кольца, больший единицы по модулю, не является ни обратимым, ни односторонне обратимым.

Получается тогда, что в условии задачи содержится ошибка? Или я чего-то не понимаю в этой жизни? А если ошибка в условии, то как тогда должна выглядеть правильная формулировка?

[mihailm]

Читайте задачу внимательно

[Bach]

Прочитал условие внимательно еще несколько раз. Возможно это какай-то заскок или эффект "замыленного глаза", но я в упор не вижу где я не понял условие.
Излагаю ход своих мыслей:
1) "распаковываем" условие и получаем два варианта
- доказать, что элемент кольца обратим слева тогда и только тогда, когда он не является правым делителем нуля;
- доказать, что элемент кольца обратим справа тогда и только тогда, когда он не является левым делителем нуля.

2) возьмем, например, первый вариант, который можно переформулировать следующим образом: доказать, что если элемент кольца обратим слева, то он не является правым делителем нуля, и что если элемент кольца не является правым делителем нуля, то он обратим слева.

3) если элемент кольца $\math x $ обратим слева, то существует элемент $\math x' $ такой, что $\math x'x = 1 $. Допустим, что $\math x $ является левым делителем нуля, т. е. существует элемент $\math y \ne 0 $ такой, что $\math xy = 0 $. Тогда

$$\math 0 = x'\cdot0 = x' \cdot (x \cdot y) = (x' \cdot x)\cdot y = 1 \cdot y = y \ne 0 $$

,
т. е. $\math 0 \ne 0$ и получаем противоречие, откуда следует, что элемент $\math x $ не является левым делителем нуля. Замечу, что в данном учебнике ассоциативность умножения и наличие единицы включаются в аксиомы кольца. Т. о. мне удалось доказать только, что если элемент обратим слева, то он не является левым делителем нуля. То что он не является правым делителем нуля доказать пока не удается.

4) вторую часть утверждения (сформулированного в п. 2) доказать тоже пока не удается, зато в голове все время возникает пример кольца целых чисел, в котором это утверждение не выполняется.


Пожалуйста, ткните носом: где именно в моих рассуждениях ошибка (или ошибки) и что именно я не понял в условии?

[mihailm]

Там конечные кольца

[Bach]

Да, действительно, если кольцо конечно и $\math x $ не является, например, правым делителем нуля то отображение $\math f: a \mapsto ax $ (где $\math a $ - произвольный элемент кольца) инъективно, а значит биективно. Тогда прообраз единицы и будет левым обратным для $\math x $. (Первую часть утверждения еще пока доказать не удалось).

Но тогда выходит, что в условии задачи действительно есть опечатка. В пунктах б), в) той же задачи речь идет о конечных кольцах, а в пункте а) (я еще раз перечитал условие, выискивая именно указание на конечность кольца) - нет. По крайней мере это касается имеющегося у меня издания (2001 год).

Короче говоря, теперь все понятно. Большое спасибо за помощь.

[mihailm]

А теперь понятно, у меня электронное издание 2004 года,
Ваша задача там на странице 173 номер 2.15
и задача пункта а) начинается так: "Элемент конечного кольца обратим..."

Книга кстати валяется в инете

[Bach]

Издание 2004 года в нете нашел. Спасибо за подсказку.