Множества и классификация чисел

[Skipper]

Числа можно разбить на множества, в следующем порядке возрастания мощности -

1. Множество $P$ - множество простых чисел (не имеет простых делителей, кроме самого себя).
2. Множество $N$ - множество натуральных чисел.
3. Множество $Z$ - множество целых чисел (это натуральные, ноль, и целые отрицательные).
4. Множество $Q$ - множество рациональных чисел (это целые числа, либо числа, которые представимы в виде дроби, в числителе и знаменателе которой целые числа. Десятичная запись рациональных либо конечна, либо представима в виде дроби, в которой обязательно есть периодическое повторение).

5. Множество $D$ - подмножество действительных чисел, которые представимы в виде радикалов над полем действительных чисел. Сюда включаются все рациональные (Q), а также некоторые иррациональные, например, $3*{\sqrt[7]{5 + \sqrt[2]{3}}}$. Более точно - в этом множестве числа, которые можно представить в виде записи с возведением в степень, где в степени будет рациональное число, а любое число которое возводится в степень - рациональное положительное.

6. Множество $E$ - подмножество действительных чисел, которые представимы в виде радикалов над полем комплексных чисел. Сюда включаются все рациональные (Q), а также некоторые иррациональные, например, $3*{\sqrt[7]{5 + \sqrt[2]{-3}}} + ... $, которое окажется действительным в итоге. Более точно - в этом множестве числа, которые можно представить в виде записи с возведением в степень, где в степени будет рациональное число, а число которое возводится в степень - рациональное, и может быть отрицательным.

Отличие множества 6 от множества 5. Например, корни уравнения,
$8x^3-6x+1 = 0$ , равны $\[\sin {10^ \circ },\sin {50^ \circ },\sin \left( { - {{70}^ \circ }} \right)\]$.
Вместе с тем, известно, что кубические уравнения разрешимы в радикалах. Это значит, что эти же корни можно представить в виде записи с числами, мат.операциями, и степенями.

Вопрос. У меня предположение, что части этой записи - будут комплексными числами, т.е. там не обойтись без $i$. Будут корни из отрицательных чисел обязательно. Верно ли предположение?

Если предположение верно, то всегда действительные корни кубических уравнений -- принадлежат множеству $E$, но они могут не принадлежать множеству $D$. А вот корни квадратного уравнения всегда принадлежат маломощному множеству $D$.

Вопрос. Всегда ли синус от аргумента (в градусах) представленного в виде рационального числа - принадлежит множеству $E$ (или даже $D$), т.е. всегда ли его можно выразить в радикалах?

Но перейдем к еще более мощному множеству чисел. Действительные корни уравнения 5-й степени, вообще не всегда могут быть выражены в радикалах, т.е. они могут не входить даже в $E$, но есть такое множество, куда они входят -

7. Множество $A$ - множество алгебраических чисел, (подмножество действительных чисел) . В это множество входят все возможные действительные корни всех возможных алгебраических уравнений, любых степеней, и с любыми рациональными коэффициентами.

Какие более мощные множества, чем $A$, рассматриваются в математике (не считая самых широких множеств - действительных и комплексных)? Я более мощных не встречал, обычно, если число не входит в $A$ то его просто называют трансцендентным. А я бы ввел еще одно множество -

8. Множество $F$ - множество чисел, которые могут быть корнями любого математического уравнения (не обязательно алгебраического), с любыми известными функциями (типа синус, дзета-функция, интегральный логарифм и т.д.), которые могут быть разложены представлены в виде ряда или нескольких рядов. Назовем такие числа АНАЛИТИЧЕСКИМИ. Проще говоря - можно задать описание конечных размеров, такое что, по этому описанию можно найти любую цифру после запятой данного числа - до бесконечности.

До сих пор все рассматриваемые множества были подмножествами следующего, т.е. $P$ подмножество $N$, и т.д. $A$ - подмножество $F$. Следующее множество, $B$ - отдельное ($F$ в него не входит), но самое мощное.

9. Множество $B$ - множество хаотических чисел. (хаотических - мое определение). Это множество всех действительных чисел, которые не входят в $F$. Если число входит в $B$, то никакими математическими описаниями конечных размеров (не важно - рядами, или функциями и т.п.), это число невозможно представить, т.е. если мы зададим описание конечных размеров, то мы не сможем по этому описанию найти любую цифру после запятой данного числа - до бесконечности.

10. Множество $R$ - множество ВСЕХ действительных чисел. Это объединение непересекающихся множеств $F$ и $B$. Причем множество $F$ в множестве $R$ - имеет меру нуль. Т.е. в множестве действительных чисел - большинство чисел - хаотические, и меньшинство - аналитические.

11. Множество $C$ - множество всех комплексных чисел. Можно было разбить и его на аналогичные подмножества (алгебраические комплексные, аналитические, хаотические и др.) но уже думаю, необязательно.

Правильна моя классификация? Какие еще у математиков есть множества, являющиеся подмножествами трансцендентных, но не являющиеся алгебраическими числами?

[meduza]

(Оффтоп)

Skipper в сообщении #343830 писал(а):

в следующем порядке возрастания мощности

Неправда. Например, у первых четырёх множеств мощность одинаковая.

Суть темы не понял. Да и детские размытые формулировки (и вопросы) рядом с некоторыми умными словами (типа мощности или меры) выглядят неуместно.

[Skipper]

Вот важный вопрос.
Есть кубическое уравнение.
$x^{3} - 9x - 1 = 0$

У него три действительных корня, которые выражаются через радикалы вот так -

$ x = \sqrt[3]{0.5 + i\sqrt{26.75}} + \sqrt[3]{0.5 - i\sqrt{26.75}}$

Это сумма двух сопряженных комплексных чисел, которая превращается в действительное число. Это же можно выразить и через функции sin и arcsin.
Это число принадлежит моему выше описанному множеству $E$ (по моей классификации чисел). Вопрос - МОЖНО ли это же число (хотя бы один из корней) выразить через радикалы без $i$? И без корней из отрицательных чисел? Если МОЖНО то это число входило бы в более узкое множество $D$, куда входят например все корни квадратных уравнений.

Если нельзя выразить, то где доказательство этого? Кто доказал?

[Sonic86]

Насколько я помню, если корень кубического уравнения имеет вид $\sqrt[3]{a+i\sqrt{b}}+\sqrt[3]{a-i\sqrt{b}}$, то он не выражается через радикалы от действительных чисел. Почему и где посмотреть - не помню
Ну самое простое: корень кубического уравнения находится из подстановки $x=\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}$, откуда при положительном дискриминанте необходимо следует, что $A,B$ - недействительные числа. Ну значит корень уже не может иметь вид $x=\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}$ для $A,B \in \mathbb{R}$. Хотя при этом вдруг он имеет вид $x = \sqrt{A}+\sqrt{B}+\sqrt{C}$ - не знаю, надо проверять... Ну и в общем случае не знаю.

[Skipper]

Цитата:

Почему и где посмотреть - не помню

Ну вот. У кого ни спрашивал - говорят "это доказано", а КТО доказал и где доказательство - никто не знает.

[tolstopuz]

Skipper в сообщении #343993 писал(а):

Ну вот. У кого ни спрашивал - говорят "это доказано", а КТО доказал и где доказательство - никто не знает.

Ну, например, Dummit&Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., p. 633-634.