Тригонометрическое выражение

[m.k.]

Дано: $\tg(\alpha + \frac\pi4) = -\frac13$
Найти: $\cos2\alpha$
Применяя формулу тангенса суммы получаем $\tg\alpha = -2$
Вопрос: как из тангенса получить $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

[ShMaxG]

Бывает полезным знать такую формулу: $\[\cos 2\alpha = \frac{{1 - \tg^2\alpha }} {{1 + \tg^2\alpha }}\]$. Запоминается легко.

[m.k.]

Оу, спасибо, а как она выводится?

[ShMaxG]

Очевидно ж Справа налево.

[m.k.]

аа, понял) если умножить числитель и знаменатель дроби на $\cos^2\alpha$ то как раз получится $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

[ShMaxG]

А для синуса:$ \[\sin 2\alpha = \frac{{2\operatorname{tg} \alpha }} {{1 + {{\operatorname{tg} }^2}\alpha }}\]$

[Mitrius_Math]

m.k. в сообщении #342227 писал(а):

как она выводится?

$\cos 2 \alpha = \frac{\cos 2 \alpha}{1}= \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}=\frac{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}=\frac{1- \tg^2 \alpha}{1+ \tg^2 \alpha}$

[ShMaxG]

Mitrius_Math
Он уже догадался. Вывод достаточно простой, чтобы его можно было здесь приводить.