прямое произведение групп

[Leox]

1. Пусть $K$ подгрупа в $G \times H.$ Доказать, что $K$ имеет вид $A \times B$ для некоторых подгрупп $A$ и $B$ тогда и только тогда, когда из условия $(g,h) \in K$ следует что $(g,e_H) \in K.$

2. Привести пример таких групп $K,G,H$ для которых $K$ подгруппа в $G \times H,$ но $K$ не представляется в виде $A \times B$ для некоторых подгрупп $A$ и $B.$

3. Пусть елементы $g \in G,$ $h \in H$ имеют в своих группах простые порядки $p,r.$ Показать, что тогда елемент $(g,e_H)$ принадлежит подгруппе в $G \times H,$ порожденной елементом $(g,h).$

[neo66]

А в чем трудности? Вопросы совсем простые, но и полезные.

Ну, во втором, возьмите какие-нибудь нетривиальные группы $G$ и $H$ и нетривиальный элемент произведения и рассмотрите подгруппу порожденную этим элементом. Уверен, что первая же попытка будет удачной.

[Leox]

согласен, второй и третий совсем простые вопросы..

а если немного подумать то и первый очевиден :)

[neo66]

В третьем вопросе слова "простые порядки $p,r$" можно заменить на "взаимно простые порядки...".