Предел последовательности

[arqady]

Define the sequence $x_1$, $x_2$, ... inductively by $x_1 = \sqrt{5}$ and $x_{n+1} = x_n^2 - 2$ for each $n \geq 1$.
Compute $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot ... \cdot x_n}{x_{n+1}}$
Это было вчера на IMC в Болгарии.

(ответ)

$1$

(подсказка)

$x_n = \frac{\sqrt{x_{n+1}^2 - 4}}{\sqrt{x_n^2 - 4}}$

[mihailm]

че-то не понимаю, у меня 1 получается

[arqady]

mihailm, это у меня $x_1=5$ затмило.
Дело в том, что с $x_1=5$ эта задача уже была на mathlinks несколько лет назад.
Исправил.

[neo66]

У меня тоже че-то 1.

(решение)

$x_n = \frac{\sqrt{x_{n+1}^2 - 4}}{\sqrt{x_n^2 - 4}}$.
Обозначим $y_n={\sqrt{x_{n}^2 - 4}}$. Тогда $\frac{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot ... \cdot x_n}{x_{n+1}}= \frac {{y_{n+1}}^2}{y_{n+2}} = \frac {{y_{n+1}}}{x_{n+1}} =\frac{\sqrt{x_{n+1}^2 - 4}}{x_{n+1}}$ стремится к $1$.