Делимость биномиальных сумм на степени простых

[Руст]

maxal писал(а):

Руст писал(а):

$\not\equiv 0\mod p^{2n+2}$ не верно, когда $(p,p-1-2n)$ иррегулярная пара.

В каком смысле иррегулярная?

пара $(p,2m)$ ($2m<p$) иррегулярна, если $p|B_{2m}$ (см. Боревич, Шафаревич).

Цитата:

Есть еще такая связанная задача для чисел Стирлинга 1-го рода:

Доказать, что для каждого целого $k\geq 0$ и каждого простого числа $p\ne 2k+3$ число

$${\bf s}(p,2k) - p\ k\ {\bf s}(p,2k+1)$$

делится на $p^4.$
Это вообще говоря неверно.
Контр-пример в студию!

$p=2$. Случай $p\not =2k+3$ оговорён. Для нечётного $p\leq 2k+1$ оно просто равно нулю, поэтому здесь нет контрпримера, кроме $p=2,k=1$.
Для доказательство заметим, что $S(n,k)=\sigma_{n-k}(1,2,3,...,n-1).$ Соответственно надо доказать, что $p^4|\sigma_{p-2k}(1,2,...,p-1)-pk\sigma_{p-2k-1}(1,2,...,p-1)$.
Запишем первое из сигма дважды (обозначая $m=p-2k$)

$$A_k=\sigma_{p-2k}(1,2,...,p-1)=\frac12 (\sum_{1\le i_1<...<i_m\le p-1}i_1i_2...i_m+(p-i_1)...(p-i_m) ).$$

Для нечётного $p$ число $m$ так же нечётное и поэтому

$$A_k=\frac 12 \sum_{j=1}^m C_{2k+j-1}^j(-1)^{j-1}p^j\sigma_{m-j}(1,2,...,p-1).$$

Отсюда для $B_k=A_k-pk\sigma_{p-1-2k}$ получаем:

$$B_k=\frac 12 \sum_{j=2}^mC_{2k+j-1}^j(-1)^{j-1}p^j\sigma_{m-j}$$

Последнее выражение при $p=2k+3$ имеет только один член и поэтому делится только на $p^3$. Когда $p>2k+3$ с точностью до $p^4$ получаем:

$$B_k=-\frac{k(2k+1)p^2}{2}(\sigma_{p-2k-2}-p\frac{2k+2}{3}\sigma_{p-2k-3})=-\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}p^3\sigma_{p-2k-3}\equiv 0\mod p^4.$$

То, что $p|\sigma_{p-2k-3}$ при $p>2k+3$ очевидно.

Тут ещё шла речь об однозначности. Это свойство связано с дваждой иррегулярной парой, когда $p^2|B_{p-1-2n}$. Пока таких не найдено и есть гипотеза (Боревич, Шафаревич), что таких пар не существует, т.е. однозначность имеется.

[maxal]

Руст писал(а):

Для доказательство заметим, что $S(n,k)=\sigma_{n-k}(1,2,3,...,n-1).$

Здесь знак потерян. Правильно:

$$s(n,k)=(-1)^{n-k} \sigma_{n-k}(1,2,3,...,n-1)$$

Но решение тем не менее правильное, потому как я в исходном выражении тоже оплошал - указал не тот знак Правильное выражение такое:

$${\bf s}(p,2k) + p\ k\ {\bf s}(p,2k+1).$$

Руст, видимо, пошел другим путем и трактовал выражение с минусом вместо плюса как выражение с числами Стирлинга без знака (хотя в этом случае у них неверное обозначение).

[Руст]

Согласно "Конкретной математике " Числа Стирлинга всегда неотрицательные числа с комбинаторным смыслом. Я заметил, что ты ещё и раньше ставил чередующиеся знаки, поэтому специально смотрел в книжку. К тому же, при чередовании знаков как сам заметил надо изменить знак в выражении.

[maxal]

Руст писал(а):

Согласно "Конкретной математике " Числа Стирлинга всегда неотрицательные числа с комбинаторным смыслом.

В этом "Конкретная математика", с сожалению, идет вразрез с общепринятыми соглашениями. Если не оговорено обратного, то "числа Стирлинга 1-го рода" - это числа со знаком и обозначаются они $s(n,k)$ (см., например, Стенли "Перечислительная комбинаторика" или MathWorld). Числа Стирлинга 1-го рода без знака (уточнение "без знака" здесь является частью термина) обозначаются $c(n,k)$ (причем $c(n,k)=(-1)^{n-k} s(n,k)$).
Хотя, так как "Конкретная математика" предлагает свое обозначение для чисел Стирлинга, то она в праве определять их как угодно. Но я придерживался классических обозначений, и поэтому у меня числа Стирлинга со знаком.

[maxal]

Объединёнными усилиями с Руст на свет появилась статья:
On p-adic approximation of sums of binomial coefficients