Забавное неравенство 2

[neo66]

Навеяно темой arqadyя. Простенький вопрос:

Найти все $k>0$, такие, что неравенство $\frac a b +\frac b a + \frac {k\sqrt {ab}}{a+b} \ge \frac k 2 +2 $ выполняется при всех $a,b>0$.

[arqady]

$(0,16]$

[DiviSer]

neo66 в сообщении #340810 писал(а):

Навеяно темой arqadyя. Простенький вопрос:

Найти все $k>0$, такие, что неравенство $\frac a b +\frac b a + \frac {k\sqrt {ab}}{a+b} \ge \frac k 2 +2 $ выполняется при всех $a,b>0$.

Имеем:
$\frac{a^2 + b^2}{ab} + \frac {k\sqrt {ab}}{a+b} \ge \frac k 2 +2 $
$\frac{a^2 +2ab+ b^2}{ab} + \frac {k\sqrt {ab}}{a+b} \ge \frac k 2 +4 $
$\frac{(a+b)^2}{ab} + \frac {k\sqrt {ab}}{a+b} \ge \frac k 2 +4 $
$x^2 + \frac {k}{x} \ge \frac k 2 +4 $
при $x\ge2$
при $k=16$ получится:
$x^2+ \frac {8}{x} + \frac {8}{x} \ge 12$
что следует из AM-GM
с другой стороны из $x^2 + \frac {k}{x} \ge \frac k 2 +4 $ следует что: $2x(x+2)\ge k$ то есть $16\ge k$