Базы и предбазы топологии (тонкости).

[Виктор Викторов]

«Базисом топологии топологического пространства Х называют всякое множество В открытых множеств из Х, такое, что любое открытое множество в Х является объединением множеств, принадлежащих В.» (Бурбаки Общая топология. Основные структуры стр.22).

Следовательно, множество всех ограниченных непустых открытых интервалов вещественных чисел с рациональными концами является базой стандартной топологии вещественных чисел. А как из этой базы получить пустое множество? Без проблем. Взять объединение элементов базы по пустому множеству индексов.

У Энгелькинга в Общей Топологии на странице 33 определение базы выглядит так: «Семейство $B\subset Q$ называется базой топологического пространства (X, Q), если каждое непустое открытое подмножество пространства X можно представить в виде объединения некоторого подсемейства семейства B.»
Но пустое множество опять же представимо как объединение элементов базы по пустому множеству индексов. Так на чью мельницу льет воду это «непустое открытое подмножество»?

Но это только присказка. Проблемы начинаются, когда мы влезаем в понятие предбазы. У Бурбаки этого понятия просто нет. Нет понятия – нет проблем. Но у многих других авторов это понятие есть.

У Энгелькинга в Общей Топологии на странице 34 определение предбазы выглядит так: «Семейство $P\subset Q$ называется предбазой топологического пространства (X, Q), если семейство всех конечных пересечений $U_1\cap U_2\cap \ldots \cap U_k$, где $U_i\inP$ для i=1, 2, …, k, является базой пространства (X, Q).».
Обратите внимание: нельзя брать пересечение по пустому набору индексов и все элементы предбазы входят в базу. Причина понятна, если этого не сделать, то база из такой предбазы будет включать всё пространство. А это далеко не всегда желательно. Но теперь-то и начинаются проблемы. Например, нет предбазы у базы всех ограниченных непустых открытых интервалов вещественных чисел с рациональными концами (см. выше). Даже сама база не является собственной предбазой! Почему? Да, потому, что одним из конечных пересечений будет пустое множество. Я уж не говорю, что множество всех открытых лучей, конечно, предбаза, но предбаза другой базы (включает все открытые лучи). Может быть, Бурбаки правы, что не используют это понятие?

[neo66]

Виктор Викторов в сообщении #340761 писал(а):

Но теперь-то и начинаются проблемы. Например, нет предбазы у базы всех ограниченных непустых открытых интервалов вещественных чисел с рациональными концами.

А в чем проблема? Нет и не надо. Никто ведь и не утверждает, что база обязана иметь предбазу, которая ее порождает. Оба эти понятия удобны и не не приводят ни к каким недопониманиям. Похоже, что Вы первый.

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #340761 писал(а):

Например, нет предбазы у базы всех ограниченных непустых открытых интервалов вещественных чисел с рациональными концами (см. выше). Даже сама база не является собственной предбазой!

Является. Подумайте.



У Бурбаки предбаза присутствует в неявном виде, например, при определении инициальной топологии

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #340766 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #340761 писал(а):

Например, нет предбазы у базы всех ограниченных непустых открытых интервалов вещественных чисел с рациональными концами (см. выше). Даже сама база не является собственной предбазой!

Является. Подумайте.

Нет. Не является. Пустой открытый интервал в эту базу не входит. А в базу из этой базы как предбазы входит.

paha в сообщении #340766 писал(а):

У Бурбаки предбаза присутствует в неявном виде, например, при определении инициальной топологии

В неявном виде? Это как?

[JMH]

Виктор Викторов в сообщении #340797 писал(а):

Нет. Не является. Пустой открытый интервал в эту базу не входит.

Является. Входит. Что будет являться пересечением конечного числа открытых множеств, не имеющих общих элементов?

[Padawan]

Да ну эти пересечения и объединения по пустому множеству индексов. Пусть Бурбаки их рассматривают, если им так нравится.
А семейство множеств $P$ является предбазой топологии $ T$, если $T$ есть наименьшая по включению топология, содержащая $ P$, $T\supset P$.

В общем, берём любое семейство $P$, порождаем этим семейством топологию $T$ (способом, описанным в Энгелькинге -- всевозможные объединения конечных пересечений), тогда $P$ будет предбазой $T$.

[Виктор Викторов]

Padawan в сообщении #340895 писал(а):

Да ну эти пересечения и объединения по пустому множеству индексов. Пусть Бурбаки их рассматривают, если им так нравится.

Пересечения и объединения по пустому множеству индексов естественная и общепринятая штука. Используется повсеместно.

Padawan в сообщении #340895 писал(а):

А семейство множеств $P$ является предбазой топологии $ T$, если $T$ есть наименьшая по включению топология, содержащая $ P$, $T\supset P$.

С этим фактом никто не спорит. Бурбаки описывают сей факт, не используя термин « предбаза».

Padawan в сообщении #340895 писал(а):

В общем, берём любое семейство $P$, порождаем этим семейством топологию $T$ (способом, описанным в Энгелькинге -- всевозможные объединения конечных пересечений), тогда $P$ будет предбазой $T$.

Только, если семейство $P$ покрывает множество на котором собирается быть эта самая топология.

[Padawan]

Виктор Викторов в сообщении #340962 писал(а):

Padawan в сообщении #340895 писал(а):

В общем, берём любое семейство $P$, порождаем этим семейством топологию $T$ (способом, описанным в Энгелькинге -- всевозможные объединения конечных пересечений), тогда $P$ будет предбазой $T$.

Только, если семейство $P$ покрывает множество на котором собирается быть эта самая топология.

Не обязательно.

[Виктор Викторов]

Нет, обязательно. В противном случае Вы не сможете получить, по крайней мере, всё пространство как открытое множество.

[Padawan]

Хорошо, Вы правы -- пустое множество и все пространство надо насильно впихнуть в топологию ( раз уж я хочу без объединений и пересечений по пустому множеству индексов обойтись ).

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #340761 писал(а):

Например, нет предбазы у базы всех ограниченных непустых открытых интервалов вещественных чисел с рациональными концами (см. выше). Даже сама база не является собственной предбазой!

JMH в сообщении #340885 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #340797 писал(а):

Нет. Не является. Пустой открытый интервал в эту базу не входит.

Является. Входит. Что будет являться пересечением конечного числа открытых множеств, не имеющих общих элементов?

Рассматриваем совокупность всех ограниченных непустых открытых интервалов вещественных чисел с рациональными концами как базу.
Тогда каждое открытое множество на числовой прямой получается как объединение элементов этой базы. В частности пустое множество получается как объединение по пустому множеству индексов. Никаких пересечений при этом брать не надо.
Теперь рассмотрим эту самую совокупность всех ограниченных непустых открытых интервалов вещественных чисел с рациональными концами как предбазу. Вот тут берём все конечные пересечения. И получаем совокупность всех ограниченных непустых открытых интервалов вещественных чисел с рациональными концами плюс пустое множество. Но это другая база. Она отличается от базы всех ограниченных непустых открытых интервалов вещественных чисел с рациональными концами на пустое множество (как элемента базы).

-- Пн июл 26, 2010 13:55:02 --

Padawan в сообщении #341038 писал(а):

Хорошо, Вы правы -- пустое множество и все пространство надо насильно впихнуть в топологию ( раз уж я хочу без объединений и пересечений по пустому множеству индексов обойтись ).

Насильно впихнуть что-нибудь в топологию можно только одним способом: перечислить все открытые множества. Если же мы задаём базу, то каждое открытое множество должно быть объединением элементов базы (включая все пространство и пустое множество). Именно поэтому для того чтобы некая совокупность была предбазой некоторой топологии на некотором множестве необходимо и достаточно, чтобы сия совокупность была покрытием этого множества.

[JMH]

Виктор Викторов в сообщении #341041 писал(а):

Именно поэтому для того чтобы некая совокупность была предбазой некоторой топологии на некотором множестве необходимо и достаточно, чтобы сия совокупность была покрытием этого множества.

Необходимо, но не достаточно. По Вашему определению само множество-носитель является предбазой - ведь оно покрывает само себя?

[Виктор Викторов]

Совершенно верно! В этом случае предбаза есть множество-носитель. База опять множество-носитель. А топология -- множество-носитель и пустое множество. Это, так называемая, антидискретная топология. Если же множество-носитель -- пустое множество, все эти множества пусты (это частный случай). Так что и необходимо и достаточно.