Равномощность континуума булеану счётного множества

[arseniiv]

Как её доказать, не используя бесконечные последовательности цифр? По мне это очень нестрого. Не впечатляет. Как можно наиболее "безболезненно", пусть даже и с привлечением дополнительных понятий, доказать $2^{\mathbb N} \sim {\mathfrak c}$?

[ewert]

Что значит нестрого. Биекция между бесконечными двоичными дробями и $2^{\mathbb N}$ -- тривиальна, а между этими же дробями и вещественными числами -- вполне строга (с точностью до некоторых нюансов, но и они не менее строги).

[arseniiv]

Вот почему-то я её не вижу. Сейчас попробую найти. $\varnothing \mapsto 0,\,{\Bbb N} \mapsto 1$? Нет, совсем не вижу...

[А у нас доказывали неравномощностью $\mathfrak c$ и $\mathbb N$ (несуществованием биекции, доказательство чего и показалось мне нестрогим) (а ведь одного этого мало, а почему-то остальных пунктов доказательства не видел), и вышло не помню и не понял тогда что, мне не понравилось.]

[ewert]

arseniiv в сообщении #340201 писал(а):

Вот почему-то я её не вижу.

Какой из двух упомянутых биекций Вы не видите? Если первой, то задать подмножество натуральных чисел -- это ровно и означает пометить его элементы единичками, а не входящие в него -- нулями. Т.е. задать бесконечную двоичную последовательность. Т.е. -- задать бесконечную двоичную дробь, не более и не менее.

[arseniiv]

Ой, и точно тривиальна.

[AD]

ewert в сообщении #340204 писал(а):

Т.е. -- задать бесконечную двоичную дробь, не более и не менее.

Таки более, ибо $0,0(1)=0,1(0)$. Так что без Кантора-Бернштейна я и сам не соображу, что делать

[arseniiv]

Таких пар дробей ведь счётное количество? Можно что-то с этим сделать.

[ewert]

arseniiv в сообщении #340233 писал(а):

Таких пар дробей ведь счётное количество? Можно что-то с этим сделать.

Конечно. И даже не только можно, но и нужно. Есть известная теорема: если к бесконечному множеству добавить конечное или счётное, то его мощность при этом не изменится. Которая (теорема) имеет, между прочим, самостоятельную ценность, так что знать её следует безусловно. И которая сама по себе не имеет никакого отношения к Канторам-Бернштейнам, она гораздо вульгарнее. Ну и всё.

(да, а ежели кому любопытно доказательство той теоремки, то оно довольно банально: в любом бесконечном множестве содержится некоторое счётное подмножество, и этого, в общем, и достаточно)

[AD]

Ну да, логично.