биекция между прямой и плоскостью

[terminator-II]

баян, конечно. Задача: построить оную биекцию.

[neo66]

(Оффтоп)

Это еще, что. Гораздо интересней доказать что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.

[Профессор Снэйп]

Идея очевидна (двум десятичным/двоичным последовательностям $0.a_1a_2\ldots$ и $0.b_1b_2\ldots$ сопоставляется последовательность $0.a_1b_1a_2b_2\ldots$). Но детали довольно занудны (девятки и нули в периоде нарушают биекцию, с этим приходится бороться).

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #339846 писал(а):

Но детали довольно занудны (девятки и нули в периоде нарушают биекцию, с этим приходится бороться).

Да нет особого занудства: просто выкидываем из открытого квадрата все точки, у которых обе координаты являются конечными десятичными дробями -- полученное множество равномощно исходному квадрату и инъективно интервалу, после чего теорема Кантора-Бернштейна. Правда, потом надо будет ещё дополнительно доказать биективность интервала с осью и квадрата с плоскостью, но это уже тривиально.

В общем, непонятно, что эта задача тут делает и в чём была задумка.

(занудство в отношении бесконечных дробей в другом месте -- в обосновании корректности арифметических операций)

[terminator-II]

Профессор Снэйп
ewert
я выкладываю задачи для студентов, если вы обязательно хотите не справиться с задачей то пожалуйста: topic35297.html
Замечу, что каких-либо специальных знаний выходящих за стандартный курс анализа для ее решения не требуется

[ewert]

terminator-II в сообщении #339859 писал(а):

я выкладываю задачи для студентов,

Но дело в том, что сия задача --нисколько не олимпиадная, даже и для студентов. Студенты про это или не знают вообще (и плявать им на это ваще, тут от специализации зависит) -- или, если не плявать, то для них это общее место.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #339854 писал(а):

...после чего теорема Кантора-Бернштейна.

С Кантором-Бернштейном вообще проблем нет :) Но тут вроде требовалось построить биекцию в явном виде...

-- Вт июл 20, 2010 10:46:07 --

Да нет, я не спорю. Всё довольно просто. Но детали занудны, увы

ewert в сообщении #339854 писал(а):

просто выкидываем из открытого квадрата все точки, у которых обе координаты являются конечными десятичными дробями

Если выкинуть, в образе не получим чисел вроде $0.01010101\ldots$