Задача на оптимизацию

[Gortaur]

На множестве $D$ - пусть это будет компакт в $\mathbb{R}^2$ задана функция $h(x,y)$. Также есть диф. оператор $L = a_{11}\partial_{xx}+2a_{12}\partial_{xy}+a_{22}\partial_{yy}+a_{1}\partial_{x}+a_{2}\partial_{y}$.
Необходимо найти функцию $\phi$ такую, что
(1) $\phi(x,y)\geq h^2(x,y)$,
(2) $L\phi\leq 0$.
(3) $\max_{D}\phi(x,y)\rightarrow \min$, то есть найти среди всех функций, удовлетворяющих (1)+(2) такую, что ее наибольшее значение будет минимальным среди остальных.

Так как $\max_D\phi = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}(\int\limits_D \phi^n(x,y)\,dx\,dy)^{1/n}$, то можно сформулировать задачи так:
(1) $\phi(x,y)\geq h^2(x,y)$,
(2) $L\phi\leq 0$.
(3n) $\int\limits_D \phi^n(x,y)\,dx\,dy\rightarrow \min$

и тогда решение первоначальной задачи будет пределом этих задач. Кто знает, при каких условиях этот подход корректен, и как решать задачу (1)+(2)+(3n)?
Насколько я понимаю, там нужно использовать метод Лагранжа, т.к. есть ограничения, но как это делать когда ограничения заданы через диф. оператор (к счастью, линейный) - я не знаю.

[worm2]

Разве $\phi(x,y)\equiv\max\limits_D h^2(x,y) $ не будет решением?

[Gortaur]

Да, это действительно решение проблемы, спасибо большое :))
Дело в том, что среди функций (1)+(2) нужно найти "минимальную" в каком-то смысле, например с минимальным максимумом. Эта задача теперь решена :))) другое дело, что задачу можно поставить и с другим критерием: например минимальная в среднем функция, то есть
(1)$\phi(x,y)\geq h^2(x,y)$
(2)$L\phi\leq 0$
(3')$\int\limits_D \phi(x,y)f(x,y)\,dx\,dy\rightarrow \min$, где $\int\limits_D f(x,y)\,dx\,dy = 1$ и $f\geq 0$ - некоторая заданная функция усреднения.
существуют ли методы решения такой задачи?

[worm2]

Не знаю. Я бы тут попробовал для начала поиграться с частными случаями. Ну, там представить все функции, в т.ч. искомую, в виде многочлена небольшой степени. Или предположить, что минимум достигается при превращении неравенств (1) и (2) в равенства...
Если попытаться численными методами это решать, то что-то это всё подозрительно смахивает на задачу линейного программирования. А на что это намекает? Моя интуиция мне подсказывает, что это намекает на то, что в явном виде, наверное, формулы не получится. Хотя интуиция может и ошибаться...

[Gortaur]

Был бы оператор эллиптический, все было бы гораздо проще: принципы максимума и т.д.
Вообще, было бы хорошо найти минимальную функцию, удовлетворяющую (1)+(2). Когда оператор эллиптический - это было бы просто решение $L\phi = 0$ с некоторыми граничными условиями (ну, может замену координат надо было бы сделать). В моем случае он больше похож на параболический, а про принцип максимум для решения параболических ДУ я не слышал. Если есть - не скажите?
Догадываюсь, что его нет, поэтому нужен какой-нибудь подходящий критерий минимизации. Отлично вышло с максимумом, но догадываюсь, что есть решения, отличные от константы, предложенной Вами ($\max\limits_D h^2$), которые удовлетворяют (1)+(2) и при это меньше либо равны этой константы. Только как хотя бы сформулировать задачу - не знаю.

[worm2]

Gortaur писал(а):

про принцип максимум для решения параболических ДУ я не слышал. Если есть - не скажите?

Точно есть. Ну вот, например, нестационарное уравнение теплопроводности — оно параболическое. Пусть уравнение будет $u_t-u_{xx}=0,\, 0<x<1,\,t>0$, заданы начальные условия и граничные условия 1-го или однородные 2-го рода (т.е. начальная температура и температура на части границы, на остальной границе теплоизоляция). Принцип максимума в этом случае формулируется так: строгий глобальный максимум (и минимум тоже) решения $u$ не может достигаться во внутренней точке области $\{0<x<1,\,t>0\}$, только на границе (здесь имеется в виду не пространственная граница, а пространственно-временная, т.е. в какой-то выбранный момент времени, разумеется, внутренняя точка может быть экстремумом для $u$, рассматриваемой как функция только от пространственных переменных, в этот фиксированный момент времени).