Входные условия. Уравнение Навье-Стокса (ток, вихрь).

[Pers]

Доброго времени суток.
Я взялся за моделирование вязкой несжимаемой жидкости. Планирую подсистему использовать в дипломной работе, но это ещё не скоро. А пока мне надо бы рассчитать самый простой случай: есть прямоугольная (двумерная) область размером N на M. Со всех сторон твёрдый стенки. Но в левой стенке в одной из точек сетки горизонтальная скорость равняется пяти. Но из-за неправильно заданных условий на границе и на входе решение сколько-нибудь адекватным не получается.



На рисунке показаны скорости движения жидкости в точках.

Функция тока и вихрь, вроде бы рассчитываются правильно. Ошибка где-то в граничных условиях.

T - вихрь

$\psi$ - функция тока

В начале перед тем как что-то рассчитывать я задаю начальные значения во всех точках.

for(i=0;i<N;i++)
for(j=0;j<M;j++)
{

$T_{i,j}=0$;
$\psi_{i,j}=0$;
$u_{i,j}=0$;
$v_{i,j}=0$;

}

А граничные и входные условия каждый раз пересчитываются в следующей функции:

for(i=0;i<N;i++)
{

$T_{i,0}=\frac{-2*\psi_{i,1}}{dy^2}}$;
$T_{i,N-1}=\frac{2*\psi_{i,N-2}}{dy^2}}$;

}
for(j=0;j<M;j++)
{
$T_{0,j}=\frac{-2*\psi_{1,j}}{dx^2}}$;
$T_{M-1,j}=\frac{2*\psi_{M-2,j}}{dx^2}}$;
}

$u_{0,5}=5$;
$\psi_{0,5}=5$;


Другими словами. Вихрь во всех точках на границе и во входной точке, где жидкость движется, пересчитывается по условию Тома первого порядка точности. Функция тока и скорости движения жидкости во всех точках на границе равны нулю. Но горизонтальная скорость в точке 0,5 равна 5. И функция тока в этой точке тоже равна 5, как изменение горизонтальной скорости по dy.

Быть может для вас эта проблема примитивна, но пока я с ней не разберусь, мне дальше двигаться некуда... Поэтому надеюсь на совет. Спасибо!

[BORIS_PLATON]

зря написал насчет примитива,здесь больше строят из себя умных,а на деле просто вспоминают вдолбленное или вызубренное)

[Zai]

Вы начали решать задачу с особенностью, когда в одной точке задали возмущение. Более простая задача когда верхняя граница движется горизонтально, а на всех других прилипание. Внутри образуется вихрь - такое решение является хорошей тестовой задачей для прямоугольной области. Для малых Рейнольдсов она имеет аналитическое решение.
Вполне вероятно что в Вашем алгоритме нет никакой ошибки.

[Pers]

Для случая с одной подвижной стенкой получается вроде бы более менее адекватное решение. Но это, когда скорость стенки равна 0.05, шаг по сетке равен 1, но коэффициент кинематической вязкости 0.01.

Если последний брать таким, каким он должен быть на самом деле (0.000001), появляются какие-то непонятные завихрения, значения скоростей растут "до космических".

И ещё такой вопрос: как правильно рассчитывать число Рейнольдса, когда нет плотности? Пишут $Re=\frac{vL}{\nu}}$, где $v$ - скорость, $L$ - характерный размер, а $\nu$ - кинематическая вязкость. С кинематической взякостью всё понятно, а какую скорость и какой размер брать?

[Zai]

Вихрь Вы получили - это очень хорошо. Далее если Вы плавно увеличите скорость в серии расчетов, то нужно обнаружить несколько вихрей. Если что-то растет до космических величин - уменьшайте шаг по времени и увеличивайте число ячеек. Общие длину и ширину расчетного объема оставляйте постоянной.

[Александр Т.]

Pers в сообщении #339585 писал(а):

И ещё такой вопрос: как правильно рассчитывать число Рейнольдса, когда нет плотности? Пишут $Re=\frac{vL}{\nu}}$, где $v$ - скорость, $L$ - характерный размер, а $\nu$ - кинематическая вязкость. С кинематической взякостью всё понятно, а какую скорость и какой размер брать?

В Вашем случае за скорость следует брать скорость подвижной стенки, а за размер — размер меньшей стенки.

Цитата:

Для случая с одной подвижной стенкой получается вроде бы более менее адекватное решение. Но это, когда скорость стенки равна 0.05, шаг по сетке равен 1, но коэффициент кинематической вязкости 0.01.

Для этого случая у меня получилось число Рейнольдса, равное 70.

Цитата:

Если последний брать таким, каким он должен быть на самом деле (0.000001), появляются какие-то непонятные завихрения, значения скоростей растут "до космических".

Для этого коэффициента кинематической вязкости число Рейнольдса будет равно 700000.

Надо полагать, что Вы решаете нелинейное (точнее, нелинеаризванное) уравнение Навье–Стокса. У нелинейного уравнения может быть не одно решение. В частности может быть и бесконечное число решений (но при этом множество решений — счетное). А численный метод (обычно) дает одно решение. Поэтому не стоит удивляться, если численное решение выглядит нефизично.

Для некоторых (весьма редких) случаев известны аналитические решения уравнения Навье–Стокса. Исследование этих решений (например, решения для течения в плоском диффузоре) показывает, что при увеличении числа Рейнольдса число решений быстро увеличивается. Есть мнение, что из всех решений физически реализуются те, у которых суммарное производство энтропии — максимально. Так что, по идее, при численном решении уравнения Навье–Стокса нужно (например, выбирая начальное приближение) получать разные решения, вычислять для них призводство энтропии, из всех полученных решений выбрать такое, у которого производство энтропии максимально. Но такой метод слишком трудоемкий в реализации.