уравнение на ЧУП

[terminator-II]

Теорема (Сухинин, Избранные главы нелинейного анализа, РУДН 1992)
Пусть $(E,\le)$ -- непустое частично упорядоченное множество имеющее максимальные элементы. Множество $P\subseteq E$ таково, что если $x\in E\backslash P$ то найдется $y\in E$ для которого $x<y$ (Т.е. $x\le y$ и $x\ne y$.) Тогда $P\ne\emptyset$.

Доказательство этого утверждения очевидно. Однако из него вытекает много нетривиальных следствий.
Одно из них я сейчас попробую описать.
Утв. Пусть $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ -- непрерывное отображение. Имеются еще функции $f_* , f^*\in L^2(\mathbb{R})$ такие, что если функция $u$ измерима и $f_*(x)\le u(x)\le f^*(x)$ п.в. то $f_*(x)\le f(u(x))\le f^*(x)$ п.в. Тогда существует $v\in L^2(\mathbb{R})$ такая, что $f\circ v=v$.


Доказывается это утверждение следующим образом. (Все неравенства и равенства ниже понимаются п.в.)

1) Определим

$$E=\{u\in L^2(\mathbb{R})\mid f_*(x)\le u(x)\le f^*(x),\quad u\le f\circ u\}.$$

Надо доказать (или предположить?), что $E\ne \emptyset$.

2) Доказать, что $E$ имеет максимальные элементы.

3) Множество $P$ вводится следующим образом $P=\{u\in E\mid u\ge f\circ u\}.$
Соответственно надо проверить условия теоремы для множества $E\backslash P$.

Я представляю как доказывать пункты 2) и 3).

Кому интересно, можно продолжить обсуждение.