Система x+y+z=a, x^2+y^2+z^2=a^2, x^3+y^3+z^3=a^3.

[Hyperion]

Добрый день, ну в принципе ответ известен, как найти строгое решение?
\begin{eqnarray} \nonumber $$\eqalign{ & x + y + z = a \cr & {x^2} + {y^2} + {z^2} = {a^2} \cr & {x^3} + {y^3} + {z^3} = {a^3} \cr} $$ \end{eqnarray}

[ИСН]

Что за фигуру задаёт первое уравнение?
Что за фигуру задаёт второе уравнение?

[Hyperion]

Тут смысл как мне кажется в строгих алгебраических преобразованиях, но делать их прямо очень долго и сложно. Нужно как то преобразовать "быстро и легко".

[ewert]

Hyperion в сообщении #337535 писал(а):

, как найти строгое решение?

Вычитая из второго квадрат первого, получим $xy+yz+zx=0$ (назовём это четвертым). Вычитая из третьего куб первого и прибавляя четвертое умножить на первое (с подходящим коэффициентом), получим $xyz=0$. Что в сочетании с четвёртым даёт непременно или $x=y=0$, или $y=z=0$, или $z=x=0$.

[meduza]

Поскольку уравнения симметричны относительно $x,y,z$, то можно использовать методы из Болтянский "Симметрия в алгебре" (там даже аналогичный пример рассмотрен, только от 4-х переменных).

[TOTAL]

Hyperion в сообщении #337535 писал(а):

Добрый день, ну в принципе ответ известен, как найти строгое решение?
\begin{eqnarray} \nonumber $$\eqalign{ & x + y + z = a \cr & {x^2} + {y^2} + {z^2} = {a^2} \cr & {x^3} + {y^3} + {z^3} = {a^3} \cr} $$ \end{eqnarray}

Первое уравнение выкиньте, всё видно из вот этих двух

\begin{eqnarray} \nonumber $$\eqalign{ & {x^2} + {y^2} + {z^2} = {a^2} \cr & {x^2(x-a)} + {y^2(y-a)} + {z^2(z-a)} = 0 \cr} $$ \end{eqnarray}

Каждая из неизвестных не превосходит по модулю число $a,$ поэтому все слагаемые вида $x^2(x-a)}$ равны нулю, поэтому ровно одна из неизвестных равна числу $a,$ а две остальные равны нулю.

[Cave]

Классное решение.