Любительская планиметрия.

[Dimoniada]

В своё время пришлось решать нетривиальную, интересную задачку. Вот, ради интереса, предлагаю её любителям геометрии:
"В плоскости дан треугольник $ABC$ и две точки $M$ и $N$, лежащие в нём. Известны две (упорядоченные) тройки растояний от этих точек до соответствующих сторон: {$3,6,9$} и {$19,10,1$}. Надо найти радиус вписанной окружности треугольника $ABC$."

[neo66]

$7$

[Dimoniada]

Правильно!
neo66, а представляете, если задать расположение центра вписанной окр. как вершину некоторого треугольника с основанием $MN$ Думаю, задача станет неподъёмной тогда.

[Dimoniada]

Специально для neo66 авторская задачка (аналог " антицентр во вписанном четырёхугольнике"):
"В описанном четырёхугольнике перпендикуляры, опущеные из середин сторон на противоположные стороны, при пересечении образуют выпуклый четырёхугольник. Необходимо доказать, что он также описанный."