Функциональная дробь (ограниченность)

[alisa-lebovski]

Требуется доказать, что дробь

$$\frac{f(b)f(at)-f(a)f(bt)}{(b-a)t(1-t)}$$

ограничена, если $f(0)=0$, $0<a<b$, $0<t<1$. Предполагается, что функция f имеет достаточное количество непрерывных и ограниченных на $[0,b]$производных.

Пыталась делать по формулам Тейлора и Лагранжа, запуталась.

[Sasha2]

Наверно достаточно показать, что данная дробь имеет предел при t стремящемся к нулю и при t стремящемуся к 1.

[gris]

Ну я начну для разгона.
Ограниченность надо показать в окрестностях нуля и единицы.
Для неограниченности в нуле функция должна себя там вести как переменная в степени меньшей 1. Но тогда у неё будет неограниченная производная.
Может быть попробовать найти предел дроби по Лопиталю?
Вот такие наивные идеи. Жара.
Ан уже и начали добрые люди.

[terminator-II]

формулу Тейлора надо применять в окрестности каждой особенности

[neo66]

alisa-lebovski в сообщении #336664 писал(а):

Требуется доказать, что дробь

$$\frac{f(b)f(at)-f(a)f(bt)}{(b-a)t(1-t)}$$

ограничена, если $f(0)=0$, $0<a<b$, $0<t<1$. Предполагается, что функция f имеет достаточное количество непрерывных и ограниченных на $[0,b]$производных.

Непонятно. Нужно доказать ограниченность этой дроби как функции от $a,b,t$ или $a$ и $b$ заданы? Или только $b$ задано?

[alisa-lebovski]

В том-то и дело, что все три величины $a,b,t$ переменные. Ну, или можно считать $b$ фиксированным и двигать $a$ относительно него, не принципиально. По отдельности каждый из трех множителей, имеющихся в знаменателе, "вынести" из числителя (с помощью формулы Лагранжа) легко. А вот все три сразу - не получается. Когда мы применяем формулу по одной переменной, потом непонятно, как ее применять по другой переменной к остатку.

[gris]

Если взять $f(x)=x^3;\,a=2;\,t=1/2$ то при $b\to\infty$ дробь как функция от $b$ вроде бы будет неограничена?
Хотелось бы более точную постановку этой красивой задачи.

[alisa-lebovski]

Хорошо. Извините за неточность. Переформулирую. Требуется доказать, что дробь

$$\frac{f(b)f(at)-f(a)f(bt)}{(b-a)t(1-t)}$$

ограничена, если $f(0)=0$, $0<a<b<c$, $0<t<1$, где $a,b,t$ - переменные. Предполагается, что функция f имеет достаточное количество непрерывных и ограниченных на $[0,c]$производных.

[alisa-lebovski]

gris в сообщении #336687 писал(а):

Если взять $f(x)=x^3;\,a=2;\,t=1/2$ то при $b\to\infty$ дробь как функция от $b$ вроде бы будет неограничена?

А по-моему, если f - степенная функция, то числитель - тождественный ноль, и дробь вся тоже.

[neo66]

Пока такое наблюдение: если $f(x)=x(x+1)$, то наша дробь равна $ab$. Так что ограничение $b < c$ нелишнее.

И такое: если $f(x)=(x+1)$, то наша дробь равна $\frac 1 t$. Так что условие $f(0)=0$ существенно.

Любопытная оказалась задачка. Поместил ее в Олимпиадный раздел.