1 ая категория Бэра (обсуждение определения)

[terminator-II]

Куратовский (Топология): Множество имеет первую категорию если оно представимо как счетное объединение нигде не плотных множеств

Шварц (Анализ): Множество имеет первую категорию если оно представимо как счетное объединение ЗАМКНУТЫХ множеств без внутренних точек

Разве это одно и тоже?

[Padawan]

Множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда его замыкание не имеет внутренних точек.
Может у Шварца -- подмножество множества, представимого в виде...

-- Ср июн 30, 2010 09:00:50 --

Первой категории и тощее -- синонимы.

[terminator-II]

Вот я как раз Шварца понял так, что тощее -- это любое подмножество множества первой категории в его смысле. Но, видимо, да, понял неправильно

[id]

Но, по-моему, эти два определения не эквивалентны.
Рассмотрим $X:=\{1,2,3\}$ с топологией $\{\varnothing, \{1\}, \{1,2,3\}\}$, возьмем несчетное объединение $\bigsqcup\limits_{\lambda} X_{\lambda}$ дизъюнктных экзэмляров $X$ и рассмотрим множество $\bigsqcup\limits_{\lambda} \{ 2 \}_{X_{\lambda}}$

Хм?..

[Padawan]

Всё правильно, не эквивалентны. На $\mathbb R^n$ можно контрпример построить, зачем экзотические топологии. По второму определению множество 1-ой категории обязательно $F_\sigma$, а по первому -- нет.

[id]

Иррациональные точки на оси абсцисс в $\mathbb R ^2$, например?

[Padawan]

Да, подходит