Дифф. уравнение.Каким способом проще искать частное решение?

[integral2009]

Методом вариации произвольных постоянных или методом неопределенных коэффициентов?)

$5y''-6y'+5y=e^{\frac{3}{5}x}cos x$

Нашел я общее решение однородного уравнения

$$y_{1}=C_1e^{\frac{3x}{5}}\cos \frac{4}{5}x+C_2e^{\frac{3x}{5}}\sin \frac{4}{5}x$$

Можно ли частное решение методом неопред. коэфициентов искать в виде

$y_2=(Ax+B)e^{\frac{3x}{5}}\cos \frac{4}{5}x}+(Cx+D)e^{\frac{3x}{5}}\sin \frac{4}{5}x}$

[ewert]

Нельзя. Во-первых, аргумент тригонометрических выражений никак не связан с правой частью, что откровенно не есть хорошо. Во-вторых, откуда Вы там линейные многочлены-то ещё сочинили?... это формально ошибкой назвать, может, и нельзя, но -- запутаетесь точно.

[integral2009]

Спасибо! Да, точно, должно быть так!

$y_2=(Ax+B)e^{\frac{3x}{5}}\cos x}+(Cx+D)e^{\frac{3x}{5}}\sin x}$

[integral2009]

Многочлен взялся по тоой причине, что в ответе он есть
http://www.wolframalpha.com/input/?i=5* ... %2B5*y%3De^(3*x/5)*cos+4*x/5

[ewert]

integral2009 в сообщении #335726 писал(а):

по тоой причине, что в ответе он есть

ой напрасно он там есть (если это и воистину ответ)

[integral2009]

Да, я перепутал условие, поэтому и ответ такой))) Спасибо, разобрался)))

[maxmatem]

А чeм мeтод вариации произвольных постоянных нe подошёл?(он в таких ситуация , почти унивeрсалeн)

[Shtirlic]

maxmatem
А некто не сказал, что мeтод вариации произвольных постоянных нe подошёл. Просто куда проще воспользоваться известной формулой, чем выводить ее!
Это я образно сказал!=)

[maxmatem]

Shtirlic
Метод вариаций просто конфетка в таких случаях, не надо ничего запоминать, просто разворачивай и кушай!А всякую специальную правую часть запоминать, т.е в какой форме будет выглядить частное решение ещё упомнить надо!(но это дело вкуса!)

[Shtirlic]

maxmatem
Я с вами абсолютно согласен! Куда проще запомнить более общий случай! Я сам всегда предпочитал понимать смысл вывода формулы, чем выучить саму формулы! Я имел ввиду, то что если знаешь все же эту формулы, то не нужно ее выводить, тут это и сыграло в конечном счете! А мeтод вариации произвольных постоянных никто не отрицал, все пошли по простому пути!=)

[ewert]

Shtirlic в сообщении #335983 писал(а):

Куда проще запомнить более общий случай!

Да, но зачастенько технически -- он куда более громоздок. Вот ради этого и сочиняют частные теории. Вот и в этом случае -- насчёт стандартной правой части. Не говоря уж о том, что возникающее там понятие "резонанса" -- в высшей степени идейно.

[Shtirlic]

Хочу сказать, что "мeтод вариации произвольных постоянных" я сейчас не вспомню. Зато для классических правых частей смогу определить частное решениие основываясь на банальной логике. Просто я в свое время выводил формулы для общего однородного решения, правда тогда меня интересовали последовательности, рекуррентное их представление. Но факт есть факт!=)

-- Вт июн 29, 2010 04:09:24 --

ewert
Вы правы! Я эту мысль и преследовал в своем первом сообщение в этой теме. Просто я говорю о том, что если память не такая замечательная, чтобы запоминать все, то проще понимать смысл (даже лучше, математика не та наука, которую нужно учить), чем выучить формулы. Я с этим остро столкнулся, когда изучал теорию массового обслуживания. Там куда проще понять смысл теории, чем выучить все формулы для всех случаев!

[Sintanial]

кстати мы такие диффуры с тригонометрической правой частью решали очень просто. Представляли тригонометрическую функцию как экспоненту по формуле Эйлера. Находили решения и в конце выделяли вещественную часть если косинус и мнимую если синус =).... по мне так самый простой метод был =)

Shtirlic А по моему выучить математику вообще не возможно, да и не вижу в этом смысла.... Я за три года обучения так до сих пор и не выучил тригонометрические всякие формулы...каждый раз как надо вывожу из тождества основного =))...да и ряды тейлора тоже приходится с самого начала брать и по определению раскладывать ....учить такое лень... хотя вот в сопромате пришлось выучить много формул, вывести их не так та просто =)!