Дискретный случай процесса Орнштейна-Уленбека

[verba_2]

Есть процесс Орнштейна-Уленбека:

$$dS = \alpha(\mu - S(t))dt + \sigma dZ $$

. И есть его дискретное представление, приведенное во всех источниках, при $dt \to 0$ :

$$S_{t+1}-S_t=\mu(1-e^{-\alpha})+(e^{-\alpha}-1)S_t+v_t$$

. Я не могу понять, что с первыми слагаемыми: насколько я понимаю, используется эквивалентность функций. Но при $dt \to 0$ $dt \approx (e^{dt}-1)$, то есть

$$S_{t+1}-S_t=\mu(e^{\alpha}-1)+(1-e^{\alpha})S(t)$$

Что я делаю не так? Здесь не может применяться такой предельный переход? А тогда каким образом происходит дискретизация? Спасибо!

[Хорхе]

"Во всех" источниках -- это в каких? Никогда такого не видел.

Лично мне что-нибудь эдакое кажется более подходящим:

$$ S_{n+1} = S_n + \alpha(\mu-S_n)\Delta + \sigma\sqrt{\Delta} \eta_n. $$

Тут $\eta_n$ -- н.о.р.с.в., дискретный "белый шум", $\Delta$ -- малый параметр.

[Gortaur]

Что значит при $dt\rightarrow 0$? Вообще, так обычно делают переход от дискретного к непрерывному, а не наоборот.