Разложение функции в степенной ряд

[Karmi]

Проверьте пожалуйста, правильно ли сделано задание.

"Разложить функцию $f(x)$ в степенной ряд по степеням $(x-a)$, используя известные разложения элементарных функций в ряд Тейлора. Указать область сходимости полученного ряда".

$f(x)=\ln({{x^2}+1})$ по $(x-0)$
Т.к. $\ln({{x^2}+1})=x-{\frac {x^2} 2}+{\frac {x^3} 3}-{\frac {x^4} 4}+...$
То $\ln ({{x^2}+1})=x^2-{\frac {x^4} 2}+{\frac {x^6} 3}-{\frac {x^8} 4}+...$
А область сходимости $(-1;+1)$.


Спасибо.

[paha]

Еще хорошо бы проверить поведение на границе области сходимости

[Karmi]

paha Скажите пожалуйста, область сходимости правильно найдена?

-- Сб июн 26, 2010 08:52:21 --

На концах области сходимости получается вроде так:
1) $x=-1$
$\[\sum\limits_{n=1}^\infty {\frac {(-1)^{2n}} n$ - ряд расходится
2) $x=1$
$\[\sum\limits_{n=1}^\infty {\frac {1^{2n}} n$ - ряд расходится

[Хорхе]

Неправильно. Аккуратно напишите, какие ряды у Вас получаются.

[Karmi]

Хорхе Неправильно найден радиус сходимости или не правильно на концах области расписано?

[Хорхе]

На концах области неправильно (слитно) записаны ряды, которые получаются.

[Karmi]

Извольте.
$\[\sum\limits_{n=1}^\infty {\frac {{(-1)^{n+1}}\cdot {x^{2n}}} n$ - $a_n$

1) $x=-1$
$\[\sum\limits_{n=1}^\infty {\frac {(-1)^{3n+1}} n$ - ряд сходится условно.

2) $x=1$
$\[\sum\limits_{n=1}^\infty {\frac {{(-1)^{n+1}}\cdot {1^{2n}}} n$ - ряд сходится условно.

[paha]

"условно" - это из другой темы:-)
ряд сходится!

[Karmi]

paha Ясно. Спасибо.