2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отношение симметричных функций.
Сообщение28.07.2006, 10:17 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
По n положительным числам можно построить разные симметричные функции, например:
$S_m=\sum_j x_i^m.$
Все симметричные функции можно выразить через основные симметричные функции:
$$\sigma_m =\sum_{i_1<i_2<...<i_m} x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_m}. $$
Существуют ли формулы для максимальных и минимальных значений двух симметричных функций одного порядка (здесь требуется положительность переменных). Мне известны только значения этих отношений для двух симметричных функций второго порядка. Для $m$-го порядка каждая симметричная функция является линейной комбинацией $k(m)$ симметричных функций, где $k(m)$ число представлений числа $m$ в виде суммы невозрастающих натуральных чисел. Например $k(3)=3$ ($3=3+0+0,3=2+1,3=1+1+1$). Соответственно представляет интерес отношений этих функций. Если это интересно, вычислить максимальные и минимальные отношения этих функций до пятого порядка.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2006, 23:32 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Непонятно, о каких конкретно функциях речь. Для пары произвольных симметричных функций одного порядка вопрос не имеет смысла, так как симметричные функции остаются таковыми при умножении на константу, и положительность переменных тут не спасет (другими словами, максимум будет $+\infty$, а минимум $-\infty$).

Представляет интерес такая задача: найти максимум и минимум $\sigma_m(x_1,\dots,x_n)$ при условии $\sigma_k(x_1,\dots,x_n)=1$ и $x_i\geq 0$. Сразу можно сказать, что при $k<m$ минимум $\sigma_m(x_1,\dots,x_n)$ равен нулю, но вот остальные случаи не такие тривиальные.

P.S. Число $k(m)$ принято называть числом разбиений и обозначать $p(m)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.08.2006, 20:12 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
maxal писал(а):
Непонятно, о каких конкретно функциях речь. Для пары произвольных симметричных функций одного порядка вопрос не имеет смысла, так как симметричные функции остаются таковыми при умножении на константу, и положительность переменных тут не спасет (другими словами, максимум будет $+\infty$, а минимум $-\infty$).

Представляет интерес такая задача: найти максимум и минимум $\sigma_m(x_1,\dots,x_n)$ при условии $\sigma_k(x_1,\dots,x_n)=1$ и $x_i\geq 0$. Сразу можно сказать, что при $k<m$ минимум $\sigma_m(x_1,\dots,x_n)$ равен нулю, но вот остальные случаи не такие тривиальные.

P.S. Число $k(m)$ принято называть числом разбиений и обозначать $p(m)$.

Положительность ограничивает по крайней мере с одного конца, т.е. по крайней мере одна граница становится отличным от нуля или бесконечности, например $0<\frac{\sigma_2 }{s_2}\le \frac{2}{n-1}$, n - количество переменных.
Обычно многие неравенства связаны с отношениями симметричных функций.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group