График функции, заданной параметрически

[rosa]

Вопрос: может ли график такой функции быть двумя разными линиями на одном интервале? Ведь функция определяется как соответствие одному значению х единственного значения у, а по рисунку (программа строит) одному х соответствуют два у.

[La|Verd]

Может. В том-то и дело, что функция задается параметрически, то есть двумя уравнениями $x = x(t)$ и $y = y(t)$, где $t$ - параметр. То есть должно иметь место однозначное соответствие каждому значению параметра $t$ некоторой точки координатной плоскости $(x, y)$.

[AKM]

Если Вы нарисуете графики функций $x(t)$ и $y(t)$, всё будет именно так, как Вы ожидали --- однозначно.
Вы же говорите о плоской кривой, параметрически заданной парой функций. Эта кривая не является ни графиком ф-ции $x(t)$, ни графиком ф-ции $y(t)$, ни даже графиком ф-ции $\left(\begin{array}{l}x\\y\end{array}\right) (t)$.
Кривая это. Просто кривая. Хоть сто-значная может быть.

В конце концов, можно считать эту кривую графиком зависимости $y(x)$. Из этого графика мы можем увидеть, что зависимость $y(x)$ не является функциональной (в привычном смысле слова "функция").

-- Ср июн 23, 2010 16:13:24 --

Предлагаю также поискать в Ваших книгах словосочетание "функция, заданная параметрически". Думаю, Вы не найдёте такого. И тогда сделаем вывод, что Вы его сами придумали, например, с чем-то зарифмовалось...

[AKM]

Меня поправили. Выражение встречается, и причём в книгах весьма известных.
Просто мне, видимо, не попадалось (уже давно только справочники читаю).
В Википедии не нашлось (только параметрическая кривая).

[rosa]

Спасибо.
То что "функция, заданная параметрически" встречается практически во всех стандартных вузовских учебниках по высшей математике я отлично знаю. И опять таки в этих учебниках начинают с того, что рисуется окружность и очень долго внушается студентам, что это не функция. Вот это то меня и привело в замешательство... Задание попалось такое: "Исследовать средствами дифферениального исчисления и построить график функции", и задано: $y=y(t)$, $x=x(t)$вот такого в литературе я не встречала... Хотя по долгу службы читать приходиться много учебников... Больше десятка разных есть в личной библиотеке... (Может кто сталкивался с таким?)

[ewert]

rosa в сообщении #334129 писал(а):

Вопрос: может ли график такой функции быть двумя разными линиями на одном интервале?

Не-мо-жет. В стандартном понимании функции.

А вот параметрически заданная кривая -- вполне может интерпретироваться как график неоднозначно заданной функции. Было б желание. Более того: даже и чёрт-те-сколько неоднозначно. Вопрос исключительно интерпретации.

[Padawan]

Ну пусть будет многозначная функция. А Вы выделите на интересующем Вас участке её однозначную непрерывную ветвь.

[rosa]

Ну и как исследовать тукую функцию средствами дифференциального исчисления? Отдельно $y(t)$ отдельно $x(t)$?
Конечно я знаю как искать ${dy}/{dx}$ от таких функций, но все остальное ... (что полагается при исследовании функции)

[Padawan]

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d({dy/dx})}{dx}=\ldots$. А что ещё надо?

[rosa]

Может асимптоты еще искать надо?.. По графику видно, что есть... И там по ходу обсуждения, мне советовали одну ветвь откинуть (вернее выделить однозначную непрерывную ветвь)... как определить, какую (там ветви все непрерывные, а разрывы в одних местах и для $x$ и для $y$)

[Padawan]

Напишите, какие конкретно функции?

[rosa]

$x=(2t^2-1)/(t+t^2)$, $y=(2t^2-1)/(1+t)$. Заранее благодарна, за любые подсказки...

[Padawan]

Найдите точки $t$, где $x'(t)=0$. И на каждом из полученных промежутков изменения параметра $t$ надо отдельно исследовать -- на них будут различные однозначные непрерывные ветви функции $y=y(x)$.

[rosa]

Ну мне, конечно, надо было срочно и конкретно... И я нашла (по крайней мере алгоритм, как строить график параметрически заданной кривой)... (не с целью рекламы (никакого отношения к сайту не имею), но... оставляю ссылку http://e-science.ru/math/theory/?t=168 (может там не все корректно, даже я пару оговорок заметила, но... помогло))

[alekcey]

Влезу и сюда. По-моему, это неправильно говорить о параметрическом задании кривой. Есть два уравнения и три независимых переменных. На плоскости мы имеем проекцию из трёхмерного пространства некой кривой, которая является решением этой системы. А условия его существования написаны в соответствующей теореме из курса матанализа… То есть, употребляя и применяя не очень внятное слово “параметр”, мы делаем несколько шагов назад даже в сравнении с уже не совсем новой теорией…