Добрый день,
я хотел бы для простой последовательности
![$x_n=1-\frac{1}{n}$ $x_n=1-\frac{1}{n}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/4/e64a9f048458c85d0b4c88527769a09e82.png)
,
![$(n=1,2,\cdots)$ $(n=1,2,\cdots)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/7/e2751610978f130b1a323bcbf87dcee182.png)
найти
1.
![$\inf x_n$ $\inf x_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/4/4147e394db8d32f6408a8e1ef8fd5e4782.png)
; 2.
![$\sup x_n$ $\sup x_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/7/af7ff401975f7a898ae19a6d21c1460582.png)
3.
![$\varlimsup\limits_{n\to \infty}x_n$ $\varlimsup\limits_{n\to \infty}x_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/e/0ee58e04245114a6ddeed47771b6e15982.png)
; 4.
![$\varliminf\limits_{n\to \infty}x_n$ $\varliminf\limits_{n\to \infty}x_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/8/4e8b3272ff5c8126ab2513aaa37f145d82.png)
.
Проверьте, пожалуйста, верно ли я рассуждаю:
Определения:1.
![$\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/6/976a30a7c71e849ba05370616ae73a9b82.png)
a)
![$x\geq m$ $x\geq m$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/0/79090ed163494c25daf334b768eda59082.png)
, для
![$\forall x \in X$ $\forall x \in X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/a/04a344005c0b76b7eb0b7738c35fe6ea82.png)
b) для
![$x'<m+\varepsilon$ $x'<m+\varepsilon$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/1/0c12a81e7a9664330614050c88a99c3982.png)
.
2.
![$\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/6/976a30a7c71e849ba05370616ae73a9b82.png)
a)
![$x\leq M$ $x\leq M$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/6/8f6750b06ec4a444379983444fc6b39382.png)
, для
![$\forall x \in X$ $\forall x \in X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/a/04a344005c0b76b7eb0b7738c35fe6ea82.png)
b) для
![$x''>M-\varepsilon$ $x''>M-\varepsilon$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/4/394ea091bec528d62cb524ddb70c5dc282.png)
.
3.
![$\varlimsup\limits_{n\to \infty}x_n=\inf\limits_{n}\sup\limits_{k\geq n}{x_k}$ $\varlimsup\limits_{n\to \infty}x_n=\inf\limits_{n}\sup\limits_{k\geq n}{x_k}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/6/596acfe41fc527c8af6b78e1ba1d053782.png)
4.
Решение (пока только первые 2 пункта):0. Когда мы говорим об
![$\inf x_n$ $\inf x_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/4/4147e394db8d32f6408a8e1ef8fd5e4782.png)
мы имеем ввиду инфимум
значений последовательности:
![$\inf x_n = \inf\{X\} = \inf\{x\in \mathbb R \mid x=1-\frac{1}{n}, n=1,2,\ldots \}$ $\inf x_n = \inf\{X\} = \inf\{x\in \mathbb R \mid x=1-\frac{1}{n}, n=1,2,\ldots \}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/5/9a567dd235d65dd836b13ec5cc3b089482.png)
- верно? (также и с
![$\sup x_n$ $\sup x_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/7/af7ff401975f7a898ae19a6d21c1460582.png)
).
1.
![$\inf x_n = 0$ $\inf x_n = 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/d/6cd9386b873e7cbb71e36f94bb1e611882.png)
, т.к.:
![$\forall n \in \mathbb N$ $\forall n \in \mathbb N$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/e/88e240de037a95a08cb46393a7f7cdf882.png)
, и значит
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
- нижняя граница последовательности.
Теперь пусть дано
![$\varepsilon > 0$ $\varepsilon > 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/f/f0f5983b609e1ccfdd0e1c27ac4b2e2882.png)
, тогда должен существовать такой номер
![$N'_\varepsilon$ $N'_\varepsilon$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/a/31a338d51b132a9365809c3d7825a14582.png)
, что
![$x_N'=\left(1-\frac{1}{N'}\right)<(0+\varepsilon)=\varepsilon$ $x_N'=\left(1-\frac{1}{N'}\right)<(0+\varepsilon)=\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/2/9d26d3f804e3e06f213f99ed0c7c0afc82.png)
Это неравенство выполняется при всех
![$N' < \frac{1}{1-\varepsilon}$ $N' < \frac{1}{1-\varepsilon}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/1/c111d157e9f71c2adecf59e1bdb162c082.png)
. Тогда я могу положить
![$N'=1$ $N'=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/c/0fcd4f1f4293bd10e83233d822909a3182.png)
для любого
![$\varepsilon < 0$ $\varepsilon < 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/8/1d8328c4ccd5409ee6f1a1b42225cad282.png)
, и
![$\inf x_n= 0$ $\inf x_n= 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/a/cca1340aa73c2ae33411ef7379c6f34882.png)
- верно?
2.
![$\sup x_n = 1$ $\sup x_n = 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/9/609d5f5a88e5299761167946a5268a4482.png)
, т.к.:
![$\forall n \in \mathbb N$ $\forall n \in \mathbb N$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/e/88e240de037a95a08cb46393a7f7cdf882.png)
, и значит
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
- верхняя граница последовательности.
Теперь пусть дано
![$\varepsilon > 0$ $\varepsilon > 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/f/f0f5983b609e1ccfdd0e1c27ac4b2e2882.png)
, тогда должен существовать такой номер
![$N''_\varepsilon$ $N''_\varepsilon$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/b/edbe14ae146cb0d45db0d5e33a2997b082.png)
, что
![$x_N''=\left(1-\frac{1}{N''}\right)<(1-\varepsilon)$ $x_N''=\left(1-\frac{1}{N''}\right)<(1-\varepsilon)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/d/9ed30c99c74f8d2ccf5dbb2cf727037082.png)
, как только
![$n>N''$ $n>N''$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/8/d78c33c84a3db4da2bde3d557e1ec72e82.png)
. Это неравенство выполняется при всех
![$N''> \frac{1}{\varepsilon}$ $N''> \frac{1}{\varepsilon}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/3/b43444d4b74dfb5ec7868505ce953f5282.png)
. Тогда
![$N''=\frac{1}{\varepsilon}$ $N''=\frac{1}{\varepsilon}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/b/f1b0c85048be58844e881e5e61f1730282.png)
, и
![$\sup x_n =1$ $\sup x_n =1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/0/e900a2a9551e142237e06d9cb778e97182.png)
- верно?
Спасибо!