Трижды Стат неопр. Рама с кривым стержнем

[Sintanial]

Всем добрый день. Помогите с трижды статически не определимой рамой, сомневаюсь в правильности решения
Вот собственно сама рама


Как и полагается, я сделал разрез в раме , в разрезе появились внутренние силовые факторы $x_1,x_2,x_3$. Далее рассматриваю четверть симметричной конструкции. Сделал произвольное сечение $z$ на прямом стержне, далее сечение на кривом стержне и ввел угол $\varphi$
Вот рисунок

Далее нахожу моменты от активных и от внутренних сил относительно сечения (Кстати я вот не могу понять когда я рассматриваю отдельную часть мне силу надо брать как $P$ или как $\dfrac{P}{2}$??? Я брал как $P$)
Получается
$M_p=\left\{ \begin{array}{l} PR\sin\varphi,\varphi \in [o,\dfrac{\pi}{2}],\\ Pz,z \in [o,a], \end{array} \right.$
$M_{x_1}=\left\{ \begin{array}{l} x_1R(1-\cos\varphi),\varphi \in [o,\dfrac{\pi}{2}],\\ 0, \end{array} \right.$
$M_{x_2}=\left\{ \begin{array}{l} x_2R\sin\varphi,\varphi \in [o,\dfrac{\pi}{2}],\\ x_2z,z \in [o,a], \end{array} \right.$
$M_{x_3}=\left\{ \begin{array}{l} x_3,\\ x_3, \end{array} \right.$
Примем для начала внутренние силовые факторы равные единицы, и найдем коэффициенты влияния с помощью интеграла Мора
Так как силы $x_2$ направленны в разные стороны в одном сечении тогда $\delta_{12}=\delta_{32}=\delta_{21}=\delta_{23}=\delta_{2p}=0$
$\delta_{11}=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }1\cdot R^2(1-\cos\varphi)^2 d\varphi =3R^2\pi-8R^2$
$\delta_{13}=\delta_{31}=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }1\cdot R(1-\cos\varphi) d\varphi =2R\pi-4R$
$\delta_{1p}=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }P\cdot R^2(1-\cos\varphi)\sin\varphi d\varphi =2PR^2$
$\delta_{33}=4$
$\delta_{3p}=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } PR\sin\varphi d\varphi+4\int\limits_{0}^{a} Pz dz=4PR+2Pa^2$

В последнем меня смущает то что размерности не сходятся. Первое слагаемое просто $[CM]$ а второе $[CM^2]$
Ну дальше в принципе понятно, главное правильно найти коэфф. влияния
Составляем систему
$\left\{ \begin{array}{l} \delta_{11}x_1+\delta_{13}x_3+\delta_{1p}=0,\\ \delta_{31}x_1+\delta_{33}x_3+\delta_{3p}=0, \end{array} \right.$
Решая, я получаю ужаснейшие вещи не подходящие ни по размерности ни по численности =)(решаю не я конечно, а Maple). Мне кажется что вся проблема в моих моментах относительно сечения =)

Не могу найти ошибку. Проверьте пожалуйста, где я напортачил =)

[Zai]

Вам необходимо решать задачу только для четвертинки в силу симметрии Вашей рамы. Неизвестным является момент в точке приложения силы. После вырезания четвертинки и приложению к кончику половины внешней силы и неизвестного момента, кончик разрезанной рамы в месте разреза повернется на угол $\phi=\frac {\frac P 2(\frac {a^2} 2+\frac {R^2} 2)-M(a+R \frac {\pi} 2 )} {EI}$
Так как угол поворота в силу симметрии равен нулю Вы найдете необходимый момент:
$M=\frac {\frac P 2(\frac {a^2} 2+\frac {R^2} 2)} {(a+R \frac {\pi} 2 )}$
В ответе может быть опечатка - обязательно проверьте окончательное выражение.

[Sintanial]

оО во первых а как же реакции x1 и x2 . Почему их не будет ?(в принципе по рисунку и так понятно что они зануляются, но ведь это надо как то доказать аналитически)
Во вторых нам сказали что надо делать интегралом мора, считать коэффициенты и решать систему , так что хоть ваш способ и проще однако мне надо по другому =)

З.ы. И всё таки проверьте мои выкладки пожалуйста.... =), почему у меня x1 не занулилось ? =)

[Sintanial]

Ап, помогите плиз, а то сдавать скоро, а я не могу понять где ошибка

[Velikan39]

Sintanial в сообщении #332787 писал(а):

Кстати я вот не могу понять когда я рассматриваю отдельную часть мне силу надо брать как $P$ или как $\dfrac{P}{2}$??? Я брал как $P$)

Нужно брать как $\dfrac{P}{2}$, т.к. нагрузка делиться поровну.

У вас ошибки для моментов от внешней нагрузки $\dfrac{P}{2}$ и от неизвестной $X_2$ - неверно определено плечо на участке $\varphi$.

[Sintanial]

Почему ведь плечо это красная линия на рисунке ниже

А это линия есть $PR\sin\varphi$

[Андрей123]

Для $M_p$ и $M_{x_2}$ на участке $\phi$ должно быть не $R\sin\phi$, а $R\sin\phi+a$.

[Sintanial]

оу точно. Я как то про это плечо и забыл. Но в любом случае все равно в ноль x1 не обращается а решение системы стало еще более громоздким ..... что то тут не так

[Андрей123]

Я точно не знаю(с интегралом Мора сталкивался один раз, уже забыл) что интегрируется, но в первом слагаемом для $\delta_{3p}$ учтите, что $dl=Rd\phi$, а не $d\phi$.

[Sintanial]

угу, вроде уже учел когда пересчитывал =)

-- Ср июн 23, 2010 00:26:27 --

Пересчитал всё заново, учёл все нюансы ,тоже самое =((БЛИН все равно ни черта не пойму ну почему у меня $x_1$ не уходит =(((

[Андрей123]

А почему $\delta_{13}$ и $\delta_{33}$ имеют разные размерности? Судя по Вашей системе, они должны быть одинаковыми.

[Sintanial]

да я там ошибки допустил, я уже пересчитал. Я просто про якобиан забыл =). Получилось вот так

$M_p=\left\{ \begin{array}{l} \frac {P}{2}R(\sin\varphi+1),\varphi \in [o,\dfrac{\pi}{2}],\\ Pz,z \in [o,a], \end{array} \right.$
$M_{x_1}=\left\{ \begin{array}{l} x_1R(1-\cos\varphi),\varphi \in [o,\dfrac{\pi}{2}],\\ 0, \end{array} \right.$
$M_{x_2}=\left\{ \begin{array}{l} x_2R(\sin\varphi+1),\varphi \in [o,\dfrac{\pi}{2}],\\ x_2z,z \in [o,a], \end{array} \right.$
$M_{x_3}=\left\{ \begin{array}{l} x_3,\\ x_3, \end{array} \right.$

Тогда
$\delta_{11}=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }1\cdot R^3(1-\cos\varphi)^2 d\varphi =R^3(3\pi-8)$
$\delta_{13}=\delta_{31}=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }1\cdot R^2(1-\cos\varphi) d\varphi =R^2(2\pi-4)$
$\delta_{1p}=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\dfrac {P}{2}\cdot R^3(1-\cos\varphi)(1+\sin\varphi) d\varphi =PR^3(\pi-1)$
$\delta_{33}=4(\dfrac{\pi}{2}R+R)=R(2\pi+4)$
$\delta_{3p}=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } \dfrac {P}{2}R^2(\sin\varphi+1)d\varphi+4\int\limits_{0}^{a} Pz dz=PR^2(3+\pi)$

-- Ср июн 23, 2010 10:25:28 --

Андрей123 в сообщении #333981 писал(а):

А почему $\delta_{13}$ и $\delta_{33}$ имеют разные размерности? Судя по Вашей системе, они должны быть одинаковыми.

Они у меня и так одинаковой размерностью. Делом в том что $x_1=1$ измеряется в Ньютонах допустим а $x_3=1$ в Ньютонах на См. Просто когда я считал я рядом размерности не подписывал, а из за того что реакции равны единички получается что выглядит как будто они разной размерности.
З.ы. Кстати в итоге ответ получается
$x_1 = -\dfrac{4P}{(\pi^2+6\pi-24)}$
$x3 = -\dfrac{PR(\pi^2+7\pi-28)}{2(\pi^2+6\pi-24)}$

[Андрей123]

Очень странно, что ответ не зависит от $a$.

[Sintanial]

Вы меня извините, я просто не сообщил, я для простоты взял a=R. Что бы проще было считать =)!

[Андрей123]

Мне что-то кажется, что в указанном сечении реакции можно определить статически. Сначала делаем вертикальный разрез по линии симметрии, находим реакции на концах(там, кстати, по рисунку не совсем понятно внизу рама разрезана или сплошная, но, тем не менее, реакции и в первом и во втором случае определяются). А затем делаем горизонтальный разрез в нужном сечении указанной половинки и также из уравнений равновесия получаем реакции.